Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist $X$ ein Hilbertraum und bezeichnet $ℒ(X)$ die Menge aller stetigen Endomorphismen von $X$, so heißt ein Operator $A\in ℒ(X)$ normal, falls er mit seinem adjungierten Operator $A^{\ast }$ kommutiert, also wenn

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$

gilt.

Beispiele

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.
• Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Eigenschaften

Sei $A\in ℒ(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• $\Vert Ax\Vert =\Vert A^{\ast }x\Vert$ für alle $x\in X$
• $\Vert Ax{\Vert }^2\le \Vert A^{2}x\Vert \Vert x\Vert$ für alle $x\in X$
• Die Operatornorm von $A$ ist gleich dem Spektralradius: $\Vert A\Vert =\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}.$ Dabei bezeichnet $\sigma (A)$ das Spektrum von $A$.
• Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall $\{0\}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein beschränkter Operator $A$ in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in $A=W_1+i{W}_2$ mit dem „Realteil“ $W_1=\frac{1}{2}(A+A^{\ast })$ und dem „Imaginärteil“ $W_2=\frac{1}{2i}(A-A^{\ast }).$ Dabei sind die Operatoren $W_i$ selbstadjungiert. $A$ ist genau dann normal, wenn $W_1{W}_2=W_2{W}_1$.

Verwandte Begriffe

Ein Operator $A\in ℒ(X)$ heißt

• quasinormal, falls $A$ mit $A^{\ast }A$ vertauscht, das heißt $A{A}^{\ast }A=A^{\ast }AA$.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum $Y$ gibt, so dass $X$ Unterraum von $Y$ ist, und einen normalen Operator $B\in ℒ(Y)$, so dass $B(X)\subset X$ und $A=B{|}_X$.
• hyponormal, falls $\Vert A^{\ast }x\Vert \le \Vert Ax\Vert$ für alle $x\in X$.
• paranormal, falls $\Vert Ax{\Vert }^2\le \Vert A^{2}x\Vert \Vert x\Vert$ für alle $x\in X$.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: $\Vert A\Vert =\sup \{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$.

Es gelten folgende Implikationen:

normal $\Rightarrow$ quasinormal $\Rightarrow$ subnormal $\Rightarrow$ hyponormal $\Rightarrow$ paranormal $\Rightarrow$ normaloid.

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator $A:D(A)\subseteq X\to X$ mit Definitionsbereich $D(A)$ heißt normal falls

$\Vert Ax\Vert =\Vert A^{\ast }x\Vert ,\mathrm{\forall }x\in D(A)=D(A^{\ast })$

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt $A^{\ast }=A$.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)