Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung $F:V\times V\to V$ auf dem Vektorraum $V$ die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

$F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0$

für alle $x,y,z\in V$.

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im Folgenden

$[\cdot ,\cdot ]:V\times V\to V,(x,y)\mapsto [x,y]$

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf $V$ definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

• $[x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]$

Anders gesagt: die Abbildung

$a\mapsto [x,a]$

ist eine Derivation bezüglich des Produktes $[\cdot ,\cdot ]$.

• $[[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]$

Anders gesagt: Mit der Notation

$\mathrm{ad}(a):V\to V,x\mapsto \mathrm{ad}(a)(x)=[a,x]$

gilt

$\mathrm{ad}([a,b])=[\mathrm{ad}(a),\mathrm{ad}(b)];$

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von $V$. Anders gesagt: Die Abbildung

$\mathrm{ad}:V\to 𝔤𝔩(V)=\mathrm{End}V,a\mapsto \mathrm{ad}(a)$

ist eine Darstellung der Lie-Algebra $V$ auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

Quellen

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