Evolution (Mathematik)

In der Mathematik definiert man die Evolution $\mathrm{\Phi }$ einer Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ als eine zweiparametrige Abbildung, gegeben durch:

${\mathrm{\Phi }}^{t,t_0}{x}_0:=x(t)$

wobei

• $x(t)$ die Lösung des Anfangswertproblems ist, das aus der o. g. Dgl. und der Anfangsbedingung $x(t_0)=x_0$ besteht, und
• $|t-t_0|$ hinreichend klein sein soll.

In Worten: Die Evolution bildet den Wert $x_0$ einer beliebigen Lösungskurve $x$ zum Zeitpunkt $t_0$ ab auf den Wert $x(t)$ der Lösungskurve zum Zeitpunkt $t$. Sie beschreibt also die weitere Entwicklung der Lösung ausgehend vom Startpunkt $x_0$.

Die Evolution der Differentialgleichung hat folgende Eigenschaften:

• ${\mathrm{\Phi }}^{t_0,t_0}{x}_0=x_0$
• $\frac{d}{d\tau }{\mathrm{\Phi }}^{t+\tau ,t}x{|}_{\tau =0}=f(t,x(t))$
• ${\mathrm{\Phi }}^{t_2,t_1}{\mathrm{\Phi }}^{t_1,t}{x}_0={\mathrm{\Phi }}^{t_2,t}{x}_0$ für $t\le t_1\le t_2$ (Transitivität).

Im Fall autonomer Differentialgleichungen $x^{\prime }=f(x)$ ist die Startzeit $t_0$ beliebig. Man schreibt dann statt ${\mathrm{\Phi }}^{t,t_0}$ einfach ${\mathrm{\Phi }}^t$ und bezeichnet ${\mathrm{\Phi }}^t$ als Phasenfluss.