Fraktionaler Laplace-Operator

In der Mathematik ist der fraktionale Laplace-Operator ein Operator, der die Vorstellung der räumlichen Ableitungen des Laplace-Operators auf fraktionale Potenzen verallgemeinert. Dieser Operator wird oft verwendet, um bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen zu verallgemeinern. Zwei Beispiele sind und , bei denen bekannte partielle Differentialgleichungen, die den Laplace-Operator enthalten, durch die fraktionale Version ersetzt werden.

In der Literatur variiert die Definition des fraktionalen Laplace-Operators oft, aber meistens sind diese Definitionen äquivalent. Im Folgenden findet sich eine kurze Übersicht, die von M. Kwaśnicki bewiesen wurde.

Definition

Sei $p\in [1,\mathrm{\infty })$,$𝒳:=L^p({ℝ}^n)$ und $s\in (0,1)$.

Fourier-Definition

Wenn wir uns weiter auf $p\in [1,2]$, beschränken, erhalten wir

$(-\mathrm{\Delta }{)}^{s}f:={ℱ}_{\xi }^{-1}(|\xi {|}^{2s}ℱ(f))$

Diese Definition verwendet die Fourier-Transformation für $f\in L^p({ℝ}^n)$. Diese Definition kann auch durch das Bessel-Potential auf alle $p\in [1,\mathrm{\infty })$ erweitert werden.

Integraloperator

Der Laplace-Operator kann auch als ein singulärer Integraloperator betrachtet werden, der durch den folgenden Grenzwert in $𝒳$ definiert ist.

$(-\mathrm{\Delta }{)}^{s}f(x)=\frac{4^s\mathrm{\Gamma }(d/2+s)}{{\pi }^{d/2}\mathrm{\Gamma }(-s)}\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\underset{{ℝ}^d\setminus B_r(x)}{\int }\frac{f(x)-f(y)}{|x-y{|}^{d+2s}}dy$

Generator der stark stetigen Halbgruppe

Mithilfe der fraktionalen Wärme-halbgruppe, das die Familie der Operatoren $\{P_t{\}}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$ darstellt, können wir den fraktionalen Laplace-Operator durch dessen Generator definieren.

$-(-\mathrm{\Delta }{)}^{s}f(x)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{P_{t}f-f}{t}$

Es ist zu beachten, dass der Generator nicht der fraktionale Laplace-Operator $(-\mathrm{\Delta }{)}^s$ ist, sondern dessen Negativ $-(-\mathrm{\Delta }{)}^s$. Der Operator $P_t:𝒳\to 𝒳$ ist definiert durch

$P_{t}f:=p_t*f$,

wobei $*$ die Faltung zweier Funktionen ist und $p_t:={ℱ}_{\xi }^{-1}(e^{-t|\xi {|}^{2s}})$.

Harmonische Erweiterung

$\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,y)+\frac{{\alpha }^2{c}_{\alpha }}{\alpha }{y}^{2-\frac{2}{\alpha }}\underset{y}{\overset{2}{\partial }}u(x,y)=0,& \text{für }y>0,\\ u(x,0)=f(x),\\ {\partial }_{y}u(x,0)=Lf(x),\end{array}$

wobei $c_{\alpha }=\frac{2^{-\alpha }\left|\mathrm{\Gamma }(-\frac{\alpha }{2})\right|}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

Siehe auch

• Fraktionale Infinitesimalrechnung

Weblinks

• Fractional Laplacian. Nonlocal Equations Wiki, Department of Mathematics, The University of Texas at Austin.