Mittelbare Wirkung

In der Mathematik sind mittelbare Wirkungen eine Verallgemeinerung des Begriffs mittelbarer Gruppen.

Definition

Sei $(S,\mu )$ eine regulärer $G$-Raum. Man sagt, dass die Wirkung von $G$ auf $S$ mittelbar ist, wenn es einen stetigen, $G$-äquivarianten Operator

$P:L^{\mathrm{\infty }}(G\times S,ℝ)\to L^{\mathrm{\infty }}(S,ℝ)$

gibt mit folgenden Eigenschaften:

• $\Vert P\Vert =1$,
• $P({\chi }_{G\times S})={\chi }_S$,
• $P(f\cdot {\chi }_{G\times A})=P(f)\cdot {\chi }_A$ für alle $f\in L^{\mathrm{\infty }}(G\times S)$ und alle messbaren Mengen $A\subset S$.

Beispiele

• Eine Gruppe $G$ ist genau dann mittelbar, wenn jeder reguläre G-Raum eine mittelbare Wirkung ist.
• Eine abgeschlossene Untergruppe $Q\subset G$ ist genau dann mittelbar, wenn die Wirkung von $G$ auf $G/Q$ mittelbar ist.
• Die Wirkung einer Lie-Gruppe auf ihrem Furstenberg-Rand ist mittelbar.

Literatur

• N. Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups, Lecture Notes in Mathematics 1758, Springer-Verlag, Berlin 2001.