Wiener-Wurst

Vorlage:Dieser Artikel Die Wiener-Wurst bezeichnet in der Mathematik einen stochastischen Prozess, der eine $\epsilon$-Umgebung der brownschen Bewegung bzw. des Wienerprozesses ist.

Die Wiener-Wurst ist nach Norbert Wiener benannt.

Wiener-Wurst

Sei $(B_t{)}_{t\ge 0}$ ein $d$-dimensionaler Standard-Wienerprozess. Die Wiener-Wurst ist der durch den Radius $\epsilon >0$ und die $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon }$ induzierte Prozess

$W^{(\epsilon )}(t)=\bigcup _{s\le t}{U}_{\epsilon }(B_s).$

Resultate

Volumen der Wiener-Wurst

Sei $V(t,\epsilon )$ das Lebesgue-Maß der Wiener-Wurst, dann gilt

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}{t}^{-d/(2+d)}\log 𝔼\left[e^{-\nu V(t,\epsilon )}\right]=-k(d){\nu }^{2/(2+d)},$

wobei

$k(d)=\frac{d+2}{d}{\left(\frac{2{\lambda }_d}{d}\right)}^{d/(d+2)}{\omega }_d^{2/(2+d)}$

unabhängig von $\epsilon$ und $\nu$ ist. ${\lambda }_d$ bezeichnet den kleinsten Eigenwert des Dirichletproblems $\mathrm{\Delta }\frac{1}{2}$ auf dem Einheitsball in ${ℝ}^d$ ($\mathrm{\Delta }$ ist der Laplace-Operator) und ${\omega }_d$ ist das Volumen des $d$-dimensionalen Einheitsballes. Das Resultat wurde von Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan mit Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet.