Maurer-Cartan-Form

Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $𝔤=T_{e}G$ ihre Lie-Algebra. Für $g\in G$ induziert die Links-Multiplikation

$L_{g^{-1}}:G\to G$

$L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h$

das Differential

$(D{L}_{g^{-1}}{)}_g:T_{g}G\to T_{e}G=𝔤$.

Die Maurer-Cartan-Form $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(G,𝔤)$ ist definiert durch

$\omega (v):=(D{L}_{g^{-1}}{)}_g(v)$

für $v\in T_{g}G,g\in G$.

Maurer-Cartan-Gleichung

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

$d\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]=0$.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

$[\omega \wedge \eta ](v_1,v_2)=[\omega (v_1),\eta (v_2)]-[\omega (v_2),\eta (v_1)]$

und die äußere Ableitung $d\omega$ durch

$d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])$

definiert.