Gegenbauer-Polynom

Gegenbauer-Polynome mit α=1

Gegenbauer-Polynome mit α=2

Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall $[-1,1]$ mit der Gewichtungsfunktion $(1-x^2{)}^{\alpha -1/2}$, mit $\alpha >-1/2$. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^m\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n-m)}{m!(n-2m)!}(2z{)}^{n-2m},$

für $\alpha \ne 0$, andernfalls

$C_n^{(0)}(z)=\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}(2z{)}^{n-2m},$

Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion ${}_2{F}_1$ darstellen:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha +n-1)!}{(2\alpha -1)!n!}{}_2{F}_1(-n,2\alpha +n;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1-z}{2})$

Der Wert für $z=1$ ist

$C_n^{(\alpha )}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2\alpha -1}{n}).$

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

$C_0^{(\alpha )}(z)=1$

$C_1^{(\alpha )}(z)=2\alpha z$

$C_2^{(\alpha )}(z)=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^2$

$C_3^{(\alpha )}(z)=-2\alpha (1+\alpha )z+4/3\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^3$

Referenzen

• Vorlage:MathWorld
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4, S. 774.