Quelltext der Seite SU(2)

In der [[Mathematik]] ist <math>\operatorname{SU}(2)</math> die [[spezielle unitäre Gruppe]] der Ordnung&nbsp;2, d.&nbsp;h. die [[lineare Gruppe]] der [[Unitäre Matrix|unitären]] <math>(2 \times 2)</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit [[Determinante]]&nbsp;1. Sie ist (zusammen mit der [[Drehgruppe]] <math>\operatorname{SO}(3)</math>, deren zweifache [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] sie ist) eine [[Einfache Gruppe (Mathematik)#Einfache Lie-Gruppen|einfache]] [[Abelsche Gruppe|nichtabelsche]] [[Kompakter Raum|kompakte]] [[Lie-Gruppe]].

Die Gruppe <math>\operatorname{SU}(2)</math> spielt eine wichtige Rolle in der [[Physik]], unter anderem im [[Standardmodell]] der [[Elementarteilchenphysik]] und in der [[Quantenmechanik]], wo sie auch als '''komplexe Dreh-Gruppe''' (Gruppe der „komplexen Drehungen“ des  zweidimensionalen ''komplexen'' Raumes <math>\mathbb C^2</math>) oder '''Spin-Gruppe''' bezeichnet wird. Bündel mit Strukturgruppe <math>\operatorname{SU}(2)</math> werden in der Theorie der [[4-Mannigfaltigkeit]]en zur Definition der [[Donaldson-Invariante]]n<ref>[[Simon Donaldson|Simon K. Donaldson]]: ''Polynomial invariants for smooth four-manifolds.'' In: ''Topology.'' Bd. 29, Nr. 3, 1990, S. 257–315, {{DOI|10.1016/0040-9383(90)90001-Z}}</ref> und in der Theorie der [[3-Mannigfaltigkeit]]en zur Definition der [[Casson-Invariante]] und der Instanton-[[Floer-Homologie]]<ref>[[Andreas Floer]]: ''An instanton-invariant for 3-manifolds.'' In: ''Communications in Mathematical Physics.'' Bd. 118, Nr. 2, 1988, S. 775–813, {{DOI|10.1007/BF01218578}}</ref><ref>[[Clifford Henry Taubes]]: ''Casson's invariant and gauge theory.'' In: ''Journal of differential geometry.'' Bd. 31, Nr. 2, 1990, S. 547–599, [http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214444327 online].</ref> verwendet.

== Definition ==
Die <math>\operatorname{SU}(2)</math> ist die Gruppe der [[Unitäre Matrix|unitären]] <math>(2 \times 2)</math>-Matrizen mit [[Determinante]]&nbsp;1:

:<math>\operatorname{SU}(2)=\bigl\{A\in \text{Mat}(2,\Complex): A\bar{A}^T=\bar{A}^TA=1, \det(A)=1\bigr\}\subset \text{Mat}(2,\Complex)
</math>.

Alle Matrizen aus <math>\operatorname{SU}(2)</math> sind von der Form
:<math>\begin{pmatrix} z_1&z_2\\
-\overline{z}_2&\overline{z}_1\end{pmatrix}</math> mit <math>\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2=1</math>.

<math>\operatorname{SU}(2)</math> ist eine Lie-Gruppe. Sie ist die einfachste nichtabelsche Lie-Gruppe.

Die [[Lie-Gruppe#Lie-Algebra der Lie-Gruppe|Lie-Algebra]] <math>\mathfrak{su}(2)</math> der Lie-Gruppe <math>\operatorname{SU}(2)</math> ist die Lie-Algebra der [[Schiefhermitesche Matrix|schiefhermiteschen]] <math>(2\times 2)</math>-Matrizen

:<math>\mathfrak{su}(2)=\bigl\{A\in \text{Mat}(2,\Complex): A+\bar{A}^T=0, \operatorname{tr}(A)=0\bigr\}\subset \text{Mat}(2,\Complex)</math>.

Alle Matrizen aus <math>\mathfrak{su}(2)</math> sind von der Form

:<math>\begin{pmatrix} ia&-\bar{z}\\z&-ia\end{pmatrix}</math> mit <math>a\in\R,z\in\Complex</math>.

== Topologie ==
* Die Lie-Gruppe <math>\operatorname{SU}(2)</math> ist eine [[kompakte Lie-Gruppe]].

* Sie ist [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und [[einfach zusammenhängend]].

* Wie jede Lie-Gruppe ist sie [[Parallelisierbare Mannigfaltigkeit|parallelisierbar]].

* Sie ist diffeomorph zur [[3-Sphäre]] <math>S^3</math>, der [[Diffeomorphismus]] ist gegeben durch
::<math>\begin{pmatrix}z_1&z_2\\
-\bar{z}_2&\bar{z}_1\end{pmatrix}\mapsto (z_1,z_2)\in S^3\subset \Complex^2</math>.

== SU(2) als Spin-Gruppe ==

<math>\operatorname{SU}(2)</math> ist eine 2-fache [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] der [[Drehgruppe]] <math>\operatorname{SO}(3)</math>, sie realisiert also die [[Spin-Gruppe]] <math>\operatorname{Spin}(3)</math>. Die natürliche Operation von <math>\operatorname{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[Spinor]]darstellung.

Explizit wird die Überlagerung gegeben durch die [[adjungierte Darstellung]] von <math>\operatorname{SU}(2)</math> auf ihrer 3-dimensionalen Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math>. Diese lässt die [[Killing-Form]] <math>B</math> und damit auch <math>-B</math> invariant. Weil <math>-B</math> positiv definit ist, ist die Gruppe der <math>-B</math> erhaltenden linearen Abbildungen isomorph zu <math>O(3)</math>. Man kann zeigen, dass die so definierte Abbildung eine 2-fache Überlagerung <math>\operatorname{SU}(2)\to \operatorname{SO}(3)</math> definiert.

== Pauli-Matrizen und Komplexe Drehungen ==
Die [[Pauli-Matrizen]] lauten
:<math>
\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}.
</math>
Die imaginären Vielfachen <math>\mathrm i\sigma_j, j=1,2,3</math> sind Elemente der Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math>. Es gilt
:<math>\operatorname{SU}(2) = \left\{\left.\exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma\right) \right| \vec\alpha \in \R^3 \right\} </math>
mit reellen Vektorkomponenten <math>\alpha_1,\, \alpha_2</math> und <math>\alpha_3</math>, den „Drehwinkeln“ &nbsp;(<math>\alpha_3</math> durchläuft beispielsweise das Intervall <math>[-2\pi,+2\pi ]</math>), und mit den in die  drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der [[Quaternion]]en, also dem aus den drei 2x2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor <math>\vec \sigma</math> &nbsp;(in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!)&nbsp;<ref>Dass ''nicht <math>\vec\sigma</math>, sondern <math>\vec\sigma /2</math>'' der Spindrehimpuls-Operator ist, ergibt sich u.&nbsp;a. aus der zugehörigen Lie-Algebra, der Drehimpulsalgebra.</ref> Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, <math>\vec \alpha\cdot\vec \sigma =\alpha_1\sigma_1+\alpha_2\sigma_2+\alpha_3\sigma_3</math>. Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u.&nbsp;a. zur Folge, dass sich die [[Spinor]]en im Gegensatz zu [[Vektor]]en nicht schon bei Drehungen um 2''&pi;'' &nbsp;(=360&nbsp;<sup>o</sup>), sondern erst bei dem ''doppelten''&nbsp; Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die  SO(3), indem man <math>{\vec\sigma}/2</math> durch den Ortsdrehimpuls-Operator <math>\vec{\mathcal L}</math> ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z.&nbsp;B. <math>\mathcal L_3= \tfrac{\partial }{\mathrm i\,\partial\varphi}</math>). Dabei wurde <math>\hbar</math>, die reduzierte [[Plancksche Konstante]], wie üblich durch Eins ersetzt, und <math>\varphi</math> ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360&nbsp;<sup>o</sup> aus, um eine gewöhnliche Funktion – statt eines Spinors – zu reproduzieren.

In diesem Sinne wird die Gruppe der komplexen Drehungen <math>\operatorname{SU}(2)</math> also von den Pauli-Matrizen „erzeugt“, was in der [[Quantenmechanik]] speziell in der Theorie des [[Spindrehimpuls]]es Anwendung findet.

== SU(2) als Gruppe der Einheitsquaternionen ==
{{Hauptartikel|Quaternion#Komplexe Matrizen|titel1=„Komplexe Matrizen“ im Artikel Quaternion}}

Jede [[Quaternion]] <math>x \in \mathbb{H}</math> lässt sich eindeutig in der Form
: <math>x_0+x_1\mathrm i_\mathbb{H}+x_2\mathrm j_\mathbb{H}+x_3\mathrm k_\mathbb{H}</math>
mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Der Betrag einer Quaternion ist definiert durch
:<math>|x| = \sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}</math>.
Die Gruppe der [[Quaternion#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]]
:<math>\left\{x\in \mathbb{H}: |x| =1\right\}</math>
ist isomorph zu <math>\operatorname{SU}(2)</math>, unter dem Isomorphismus entsprechen sich
: <math>1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad
\mathrm i_\mathbb{H} \mapsto \begin{pmatrix} \mathrm i & 0 \\ 0 & -\mathrm i \end{pmatrix},\quad
\mathrm j_\mathbb{H} \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad
\mathrm k_\mathbb{H} \mapsto \begin{pmatrix} 0 & \mathrm i \\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}</math>.

== Endliche Untergruppen der SU(2) ==
Die [[Endliche Gruppe|endlichen]] [[Untergruppe]]n wurden von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] klassifiziert.

Jede endliche Untergruppe ist [[Isomorphismus|isomorph]] zu einer der folgenden Untergruppen der <math>\operatorname{SU}(2)</math>:
* der [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppe]] erzeugt von der [[Diagonalmatrix]]
:<Math>\rm{diag}(\exp(2\pi \rm i/\it n\rm ),\exp(-2\pi \rm i/\it n\rm ))</math>,
* der [[Diedergruppe]] erzeugt von
:<Math>\rm{diag}(\exp(\pi \rm i/\it n\rm ),\exp(-\pi \rm i/\it n\rm ))</math> und <math>\left(\begin{array}{cc}0&\rm i\\
\rm i&0\end{array}\right)</math>,
* dem Urbild der [[Symmetriegruppe]] eines der regelmäßigen platonischen Körper (also bis auf Dualität entweder des regelmäßigen [[Tetraeder]]s, [[Oktaeder]]s oder [[Ikosaeder]]s) unter der Überlagerung <Math>\operatorname{SU}(2)\to \operatorname{SO}(3)</math>.

Diese Untergruppen entsprechen den [[Dynkindiagramm]]en <math>A_{n-1}, D_{n+2},E_6,E_7,E_8</math>. Siehe auch [[Quaternion#Die endlichen Untergruppen]].

== Differentialgeometrie ==

Das negative der Killing-Form definiert eine bi-invariante [[Riemannsche Metrik]] auf <math>\operatorname{SU}(2)</math>, ihre [[Schnittkrümmung]] ist konstant <math>1</math>. Die <math>\operatorname{SU}(2)</math> ist also isometrisch zur 3-dimensionalen Einheitssphäre.

== Darstellungstheorie ==
Die Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math> ist eine [[reelle Form]] der Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>, d.&nbsp;h. <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist die [[Komplexifizierung]] von <math>\mathfrak{su}(2)</math>. Alle [[Darstellung (Lie-Algebra)|Darstellungen]] von <math>\mathfrak{su}(2)</math> erhält man also durch Einschränkung von Darstellungen von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>. Insbesondere folgt aus der [[Darstellungstheorie der sl(2,C)|Klassifikation der Darstellungen von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>]], dass es zu jeder natürlichen Zahl <math>m</math> eine bis auf Isomorphie eindeutige <math>(m+1)</math>-dimensionale irreduzible Darstellung der <math>\mathfrak{su}(2)</math> gibt.

Nach dem [[Lie'sche Sätze|Zweiten Lie’schen Satz]] entsprechen die Lie-Algebren-Darstellungen von <math>\mathfrak{su}(2)</math> genau den Lie-Gruppen-Darstellungen von <math>\operatorname{SU}(2)</math>. Es gibt also zu jeder natürlichen Zahl <math>m</math> eine bis auf Isomorphie eindeutige <math>(m+1)</math>-dimensionale irreduzible Darstellung von <math>\operatorname{SU}(2)</math>. In der Physik wird diese als Spin-<math>\tfrac{m}{2}</math>-Darstellung bezeichnet.

Eine explizite Realisierung der <math>(m+1)</math>-dimensionalen Darstellung von <math>\operatorname{SU}(2)</math> geht wie folgt. Es sei <math>V_m</math> der Vektorraum der komplexwertigen [[Homogenes Polynom|homogenen Polynome]] vom Grad <math>m</math> in zwei Variablen, also der von <math>x^m,x^{m-1}y,\ldots,xy^{m-1},y^m</math> aufgespannte komplexe Vektorraum. Dann wirkt <math>A\in\operatorname{SU}(2)</math> auf <math>V_m</math> durch <math>(AP)(x,y):=P(A^{-1}(x,y))</math>.

== Physik ==
Die [[Drehimpulsalgebra]] ist isomorph zur [[Komplexifizierung]] der [[Lie-Gruppe#Lie-Algebra der Lie-Gruppe|Lie-Algebra]] der <math>\operatorname{SU}(2)</math>.
Viele physikalische Situationen sind rotations-invariant und lassen sich also als Darstellungen der <math>\operatorname{SO}(3)</math> beschreiben, welche in der Regel unendlich-dimensional sind und sich aber in endlich-dimensionale irreduzible Darstellungen zerlegen lassen. Im Falle des Wasserstoffatoms entsprechen die Anzahlen der Zustände gleicher Energie gerade den Dimensionen dieser irreduziblen Darstellungen. Gewisse Effekte lassen sich aber nur erklären, wenn man die Dimensionen verdoppelt, also statt der SO(3)-Darstellungen die durch Tensorieren mit der Standarddarstellung <math>\Complex^2</math> entstehenden SU(2)-Darstellungen betrachtet.

Die [[schwache Wechselwirkung]] und damit das [[Standardmodell]] der Elementarteilchenphysik ist <math>\operatorname{SU}(2)</math>-invariant.<ref>{{Literatur|Autor=M. Claudson, E. Farhi, R.L. Jaffe |Titel=Strongly coupled standard model |Datum=1986-08-01 |Band=34 |Nummer=3 |Seiten=873–887 |DOI=10.1103/PhysRevD.34.873 |PMID=9957220 |bibcode=1986PhRvD..34..873C |Sprache=en }}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Spezielle unitäre Gruppe]]

== Literatur ==
* [[Theodor Bröcker]], [[Tammo tom Dieck]]: ''Representations of Compact Lie Groups'' (= ''Graduate Text im Mathematics.'' Bd. 98). Springer, New York NY u.&nbsp;a. 1985, ISBN 3-540-13678-9.
* Walter Pfeifer: ''The Lie Algebras su(N). An Introduction.'' Birkhäuser, Basel u.&nbsp;a. 2003, ISBN 3-7643-2418-X.
* Jean-Marie Normand: ''A Lie group. Rotations in quantum mechanics.'' North-Holland Publishing Co., Amsterdam u.&nbsp;a. 1980, ISBN 0-444-86125-4.
* Max Wagner: ''Gruppentheoretische Methoden in der Physik. Ein Lehr- und Nachschlagewerk.'' Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1998, ISBN 3-528-06943-0.

== Weblinks ==
* Stephen Haywood: [http://hepwww.rl.ac.uk/Haywood/Group_Theory_Lectures/Lecture_3.pdf SU(2)] (betont physikalische Anwendungen)
* Julien Marché: [http://www.math.jussieu.fr/~marche/Strasbourg-web.pdf Geometry of representation spaces in SU(2)]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lie-Gruppe]]
[[Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]