Quelltext der Seite Quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit

In der [[Mathematik]] sind '''quaternionische Kähler-[[Mannigfaltigkeit]]en''' ein Forschungsgebiet der [[Differentialgeometrie]].

== Definition ==

Eine [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]], [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]] der [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>4n</math> ist eine ''quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit'', wenn ihre [[Holonomiegruppe]] in <math>\operatorname{Sp}(n)\operatorname{Sp}(1)</math> enthalten ist. Im Fall <math>n=1</math> verlangt man zusätzlich noch, dass es sich um eine selbstduale [[Einstein-Mannigfaltigkeit]] handelt. 

Hierbei bezeichnet <math>\operatorname{Sp}(n)</math> die (kompakte) [[Symplektische Gruppe#Kompakte symplektische Gruppe|symplektische Gruppe]] und <math>\operatorname{Sp}(n)\operatorname{Sp}(1)</math> wirkt auf <math>\mathbb{H}^n=\R^{4n}</math> durch Linksmultiplikation von <math>\operatorname{Sp}(n)</math> und Rechtsmultiplikation (als Diagonalmatrizen) von <math>\operatorname{Sp}(1)</math>, wodurch <math>\operatorname{Sp}(n)\operatorname{Sp}(1)</math> als Untergruppe von <math>\operatorname{GL}(4n,\R)</math> aufgefasst wird.

Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit heißt ''positiv'' bzw. ''negativ'', wenn die Riemannsche Metrik [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist und positive bzw. negative [[Skalarkrümmung]] hat.

== Eigenschaften ==

* Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist genau dann [[Hyperkählermannigfaltigkeit|hyperkähler]], wenn ihre Skalarkrümmung verschwindet.

* Jede positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist [[Kompakter Raum|kompakt]] und [[einfach zusammenhängend]].

* Die einzige quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit mit positiver [[Schnittkrümmung]] ist der [[Quaternionischer projektiver Raum|quaternionische projektive Raum]].

Alle bekannten Beispiele positiver quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten sind [[Wolf-Raum|Wolf-Räume]]; Die '''LeBrun-Salamon-Vermutung''' besagt, dass alle positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten [[Symmetrischer Raum|symmetrische Räume]] und damit (nach der Klassifikation symmetrischer Räume) insbesondere Wolf-Räume sind. (Für n=1 wurde die Vermutung von Hitchin und für n=2 von Poon-Salamon bewiesen.)

== Twistorraum ==
Zu jeder quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit assoziiert man einen sogenannten „Twistorraum“ wie folgt.
<math>\operatorname{Sp}(n)\operatorname{Sp}(1)</math> wird von <math>\operatorname{Sp}(n)\times\operatorname{Sp}(1)</math> zweifach [[Überlagerung (Topologie)|überlagert]] und lokal lässt sich das <math>\operatorname{Sp}(n)\operatorname{Sp}(1)</math>-Bündel zu einem <math>\operatorname{Sp}(n)\times\operatorname{Sp}(1)</math>-Bündel heben. Die <math>\operatorname{Sp}(1)</math>-Wirkung auf <math>\mathbb{H}^1=\Complex^2</math> kann man dann benutzen, um lokal ein [[Prinzipalbündel#Assoziierte Vektorbündel|assoziiertes]] quaternionisches Linienbündel <math>H</math> zu definieren. Auch wenn dieses nicht global definiert sein muss, ist jedenfalls seine komplexe Projektivisierung global definiert und man erhält ein Bündel
:<math>\Complex P^1\to P_{\Complex}(H)\to M</math>.
Der Raum <math>Z:=P_{\Complex}(H)</math> wird als '''Twistorraum''' der quaternionischen Kählermannigfaltigkeit <math>M</math> bezeichnet.

Beispiel: Der Twistorraum des [[Quaternionischer projektiver Raum|quaternionischen projektiven Raumes]] <math>\mathbb{H} P^n</math> ist der [[Komplexer projektiver Raum|komplexe projektive Raum]] <math>\Complex P^{2n+1}</math> und das Bündel
:<math>\Complex P^1\to\Complex P^{2n+1}\to \mathbb{H} P^n</math>
ist die kanonische Projektionsabbildung.

'''Satz (LeBrun-Salamon)''': ''Der Twistorraum einer positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine [[Fano-Kontaktmannigfaltigkeit]], außerdem kompakt, einfach zusammenhängend, Kählersch und Einsteinsch''.

Weiterhin ist eine positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit genau dann ein symmetrischer Raum, wenn ihr Twistorraum ein (unter [[Biholomorphe Abbildung|biholomorphen Abbildungen]]) [[homogener Raum]] ist.

== Literatur ==
* Salamon, Simon: ''Quaternionic Kähler manifolds.'' Invent. Math. 67 (1982), no. 1, 143–171. 
* Poon, Y. S.; Salamon, S. M.: ''Quaternionic Kähler 8-manifolds with positive scalar curvature.'' J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 363–378. 
* LeBrun, Claude; Salamon, Simon: ''Strong rigidity of positive quaternion-Kähler manifolds.'' Invent. Math. 118 (1994), no. 1, 109–132.
* Salamon, Simon: ''Quaternionic Kähler Geometry.'' Proceedings of the University of Cambridge VI, 1999, 83–121.


[[Kategorie:Kähler-Mannigfaltigkeit]]