Quelltext der Seite Modulare Funktion (harmonische Analyse)

{{Weiterleitungshinweis|Unimodulare Gruppe|Für Gruppen von Matrizen mit Determinante 1 siehe [[spezielle lineare Gruppe]].}}
Die '''modulare Funktion''' ist ein Begriff aus der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]], das heißt aus der Theorie der [[Lokalkompakte Gruppe|lokalkompakten Gruppen]]. Die modulare Funktion misst eine Links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

== Definition ==
Es sei <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes [[Haarsches Maß]] <math>\mu</math> auf <math>G</math>. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass <math>\mu(tA) = \mu(A)</math> für alle <math> t\in G</math> und alle [[Borelmenge]]n <math>A\subset G</math>. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass <math>\mu</math> auch rechtsinvariant ist, das heißt, es kann durchaus <math>\mu(At) \not= \mu(A)</math> gelten. 

Für festes <math>t\in G</math> ist die Abbildung <math>\mu_t\colon A \mapsto \mu(At)</math> ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl <math>\Delta_G(t)\in \R^+</math> mit <math>\mu_t \,=\, \Delta_G(t)\mu</math>, das heißt <math>\mu(At) \,=\, \Delta_G(t)\mu(A)</math> für alle messbaren <math>A\subset G</math>. 

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung <math>\Delta_G\colon G \rightarrow \R^+</math>, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes <math>\mu</math> erweist und ein [[Stetige Funktion|stetiger]] [[Homomorphismus]] von <math>G</math> in die multiplikative Gruppe <math>\R^+</math> ist.<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 9.3.4.</ref> <math>\Delta_G</math> heißt die modulare Funktion von <math>G</math>

== Unimodulare Gruppen ==
Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion <math>\Delta_G(t)=1</math> für alle <math>t\in G</math> ist, nennt man ''unimodular''. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

* Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
* Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der modularen Funktion muss eine kompakte [[Untergruppe]] in <math>\R^+</math> sein, und da kommt nur <math>\{1\}</math> in Frage.
* [[Diskreter Raum|Diskrete]] Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]]es sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>GL(n,\R)</math>. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

:<math> \mu(A) = \int_A\frac{1}{|\det(u)|}\,\mathrm{d}\lambda(u) </math>

gegeben, wobei <math>\lambda</math> das [[Lebesguemaß]] auf <math>\R^{n^2}</math> ist.

== Beispiel ==
Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale modulare Funktion. Es sei <math>G</math> die lokalkompakte Gruppe aller <math>2\times 2</math>-Matrizen
:<math>\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
mit <math>a,b\in \R, a>0</math>. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch
:<math>\mu(A) = \int_{\R} \int_{\R^+}\frac{1}{a^2}\,\mathrm{d}a\mathrm{d}b</math>
gegeben, ein rechtsinvariantes durch
:<math>\nu(A) = \int_{\R} \int_{\R^+}\frac{1}{a}\,\mathrm{d}a \mathrm{d}b</math>.
Damit ergibt sich<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 9.3, Übung 2</ref>
:<math>\Delta_G (\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix})\,=\,\frac{1}{a} </math>.

== Rechenregeln ==
Es sei <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß <math>\mu</math>. Für eine Funktion <math>f\colon G \rightarrow R</math> sei <math>f_s(t)\,:=\, f(ts^{-1})</math>, die sogenannte Translation von <math>f</math> um <math>s</math>.

Ist <math>\chi_A</math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] der Borelmenge <math>A</math>, so ist <math>(\chi_A)_s = \chi_{As}</math> und daher nach Konstruktion der modularen Funktion

:<math>\int (\chi_A)_s(t)\mathrm{d}\mu(t) = \int \chi_{As}(t)\mathrm{d}\mu(t) = \mu(As) = \Delta_G(s)\mu(A) = \Delta_G(s) \int \chi_A(t) \mathrm{d}\mu(t)</math>.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede <math>\mu</math>-integrierbare Funktion <math>f</math>:<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Text nach Satz 9.3.3.</ref>

:<math>\int f_s(t) \mathrm{d}\mu(t) = \Delta_G(s) \int f(t) \mathrm{d}\mu(t)</math>.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für <math>\mu</math>-integrierbare Funktionen <math>f</math> auf <math>G</math> gilt<ref>[[Lynn Loomis|Lynn H. Loomis]]: ''An Introduction to Abstract Harmonic Analysis.'' D. van Nostrand Co., Princeton NJ u. a. 1953, § 30B.</ref>

:<math>\int f(t^{-1})\Delta_G(t^{-1})\mathrm{d}\mu(t) \,=\, \int f(t) \mathrm{d}\mu(t)</math>.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der [[Involution (Mathematik)|Involution]] auf der [[Gruppen-C*-Algebra|Faltungsalgebra <math>L^1(G)</math>]] vor. Auf dem [[Lp-Raum|<math>L^1</math>-Raum]] über <math>(G,\mu)</math> definiere man für Funktionen <math>f,g \in L^1(G)</math>

:<math> f \star g(t) \,:= \int f(s)g(s^{-1}t) \mathrm{d}\mu(s) </math>

:<math> f^*(t) := \Delta_G(t^{-1})\overline{f(t^{-1})} </math>.

Dabei ist <math>f\star g</math> nur [[fast überall]] definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die [[komplexe Konjugation]]. Mit dem durch <math>\star</math> definierten sogenannten [[Faltung (Mathematik)|Faltungsprodukt]] und der Abbildung <math>f\mapsto f^*</math> wird <math>L^1(G)</math> zu einer [[Banachalgebra]] mit [[Isometrie|isometrischer Involution]].<ref>[[Jacques Dixmier]]: ''C*-algebras'' (= ''North-Holland Mathematical Library.'' Bd. 15). North Holland Publishing Company, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2450-X, Kapitel 13.2.</ref> Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Harmonische Analyse]]