Quelltext der Seite Mahler-Volumen

In der [[Konvexgeometrie]] ist das '''Mahler-Volumen'''  eines [[Punktsymmetrie|punktsymmetrischen]] [[Konvexer Körper|konvexen Körpers]] eine [[Größe der Dimension Zahl]], das abhängig vom Körper aber [[Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] ist. Nach der ''Blaschke-Santaló-Ungleichung'' sind die Körper mit dem größtmöglichen Mahler-Volumen Bälle und [[Ellipsoid]]e. Die bisher unbewiesene ''Mahler-Vermutung'' besagt, dass das minimale Mahler-Volumen durch [[Hyperwürfel]] angenommen wird. Benannt ist das Mahler-Volumen nach dem britischen Mathematiker deutscher Herkunft [[Kurt Mahler]].

== Definition ==
Sei <math>E</math> ein <math>n</math>-dimensionaler [[Euklidischer Raum]] und <math>\operatorname{vol}(\cdot)</math> das [[Lebesgue-Maß]].

Ein konvexer Körper in <math>E</math> ist als [[Kompakter Raum|kompakte]] [[konvexe Menge]] mit [[Nichtleere Menge|nicht-leerem]] [[Innerer Punkt|Inneren]] definiert. Wenn <math>B\subset E</math> ein punktsymmetrischer Körper ist, so ist die [[polare Menge]]
:<math>B^{\circ}=\left\{ x \in E\mid x\cdot y\le 1 \text { } \forall y\in B \right\}</math>
ebenfalls ein punktsymmetrischer Körper in <math>E</math>.

Das Mahler-Volumen von <math>B</math> ist das Produkt
:<math>M(B)=\operatorname{vol}(B)\operatorname{vol}(B^{\circ}).</math><ref name="tao">[[Terence Tao]]: ''Mahler's conjecture for convex bodies.'' In: ''Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog''. ''[[American Mathematical Society]]'', 2009, ISBN 978-0-8218-4695-7, S. 216–219 ([https://terrytao.wordpress.com/2007/03/08/open-problem-the-mahler-conjecture-on-convex-bodies/ Online])</ref>

Ist <math>T</math> eine [[Invertierbare Matrix|invertierbare]] lineare Abbildung in <math>E</math> und <math>T^*</math> seine Transponierte, so ist
:<math>(TB)^{\circ} = (T^{-1})^{\ast} B^{\circ}</math>
Das Volumen von <math>T(B)</math> ist um den Faktor <math>\det T</math> von dem Volumen von <math>B</math> verschieden; analog unterscheidet sich das Volumen von <math>T(B^{\circ})</math> um <math>\det (T^{-1})^\ast</math> von dem von <math>B^{\circ}</math>. Weil diese Determinanten Multiplikative Inverse sind, bleibt insgesamt das Mahler-Volumen von B durch lineare Abbildungen erhalten.

== Beispiele ==
Das Innere einer [[Einheitssphäre|n-Sphäre]] ist selbst eine [[Einheitssphäre]]. Folglich ist das Mahler-Volumen das Quadrat des Volumens

: <math>\frac{\Gamma(3/2)^{2n}4^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)^2}</math>,

wobei  <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]] ist. [[Ellipsoid]]e haben aufgrund affiner Invariant dasselbe Mahler-Volumen.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Konvexgeometrie]]