Quelltext der Seite Lah-Zahl

Die '''Lah-Zahlen''' sind in der Mathematik die [[Koeffizient]]en zur gegenseitigen Darstellung von  [[Fallende und steigende Faktorielle|steigenden und fallenden Faktoriellen]].

Sie wurden erstmals 1955  von [[Ivo Lah]] beschrieben. Es gilt:

:<math> x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^n L_{n,k} x^{\underline{k}} </math>

Die vorzeichenlosen Lah-Zahlen sind wie folgt definiert:

:<math> L_{n,k} = { n-1 \choose k-1 } \frac{n!}{k!} </math><ref name="mathworld">Eric W. Weisstein: ''[https://mathworld.wolfram.com/LahNumber.html Lah Numbers]'' auf [[MathWorld]]</ref>

Die vorzeichenbehafteten Lah-Zahlen sind definiert durch

:<math> L_{n,k} = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!} </math>

Für die [[Inversion (Diskrete Mathematik)|Inversion]]sformel der steigenden und fallenden Faktoriellen benutzt man die vorzeichenlosen Lah-Zahlen.

Diese haben in der [[Kombinatorik]] eine interessante Eigenschaft: Sie beschreiben die Anzahl der linear geordneten <math>k</math>-[[Partition (Mengenlehre)|Partitionen]] einer <math>n</math>-elementigen [[Menge (Mathematik)|Menge]].

Außerdem gilt:

:<math>L(n,k)=B_{n,k}(1!,2!,3!,4!,\ldots )</math><ref name="mathworld"/>

wobei <math>B_{n,k}</math> für die [[Bell-Polynom]]e steht.

== Werte ==

{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
|-
! <math>_n\!\!\diagdown\!\!^k</math> !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9
|-
! 1
| 1
|-
! 2
| 2
| 1
|-
! 3
| 6
| 6
| 1
|-
! 4
| 24
| 36
| 12
| 1
|-
! 5
| 120
| 240
| 120
| 20
| 1
|-
! 6
| 720
| 1800
| 1200
| 300
| 30
| 1
|-
! 7
| 5040
| 15120
| 12600
| 4200
| 630
| 42
| 1
|-
! 8
| 40320
| 141120
| 141120
| 58800
| 11760
| 1176
| 56
| 1
|-
! 9
| 362880
| 1451520
| 1693440
| 846720
| 211680
| 28224
| 2016
| 72
| 1
|}

({{OEIS|A008297}})

== Neuere praktische Anwendung ==
In den letzten Jahren wurden Lah-Zahlen in der [[Steganografie]] verwendet, um Daten in Bildern zu verstecken. Im Vergleich zu Alternativen wie [[Diskrete Cosinus-Transformation|DCT]], [[Diskrete Fourier-Transformation|DFT]] und [[Diskrete Wavelet-Transformation|DWT]] weist sie eine geringere Komplexität der Berechnung ihrer ganzzahligen Koeffizienten auf (<math>O(n \log n)</math>).<ref>{{Cite journal |last1=Ghosal |first1=Sudipta Kr |last2=Mukhopadhyay |first2=Souradeep |last3=Hossain |first3=Sabbir |last4=Sarkar |first4=Ram |year=2020 |title=Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication |journal=Transactions on Emerging Telecommunications Technologies |volume=32 |issue=2 |doi=10.1002/ett.3984 |s2cid=225866797 |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=Image Steganography-using-Lah-Transform |url=https://in.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/78751-image-steganography-using-lah-transform |website=MathWorks |language=en}}</ref> Die Lah- und Laguerre-Transformationen tauchen natürlich bei der störungstheoretischen Beschreibung der [[chromatische Dispersion]] auf.<ref>{{Cite journal|last1=Popmintchev|first1=Dimitar|last2=Wang|first2=Siyang|last3=Xiaoshi|first3=Zhang|last4=Stoev|first4=Ventzislav|last5=Popmintchev|first5=Tenio|date=2022-10-24 |title=Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion|journal=[[Optics Express]]|volume=30|issue=22|pages=40779–40808|doi=10.1364/OE.457139|doi-access=free|pmid=36299007 |bibcode=2022OExpr..3040779P|language=en}}</ref> In der [[Lah-Laguerre-Optik]] beschleunigt ein solcher Ansatz Optimierungsprobleme ungemein.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Kombinatorik]]