Quelltext der Seite Ellipse

{{Dieser Artikel|behandelt die geometrische Figur der Ellipse, zu anderen Bedeutungen siehe [[Ellipse (Begriffsklärung)]]. Zur algebraischen Kurve siehe [[Elliptische Kurve]].}}
[[Datei:01-Ellipse-vertikal.svg|mini|hochkant=1.0|Ellipse mit Mittelpunkt <math>M</math>, Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>, Scheitelpunkten <math>S_1, \dotsc, S_4</math>, Hauptachse (rot) und Nebenachse (grün)]]
[[Datei:01-Ellipse-Kegelschnitt.svg|mini|hochkant=1.4|Ellipse als Kegelschnitt.<br />
Die Mittelachse des Kegels ist so weit geneigt, dass sich die Ellipse in der [[Normalprojektion#Ansichten|Seitenansicht von rechts]] in wahrer Größe zeigt.]]
[[Datei:Saturn - Lord of the Rings.jpg|mini|Die [[Ringe des Saturn|Saturnringe]] erscheinen elliptisch]]
'''Ellipsen''' sind in der [[Geometrie]] spezielle geschlossene [[Oval (Geometrie)|ovale]] [[Kurve (Mathematik)|Kurven]]. Sie zählen neben den [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] und den [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] zu den [[Kegelschnitt]]en. Eine anschauliche Definition verwendet die Eigenschaft, dass die Summe der Abstände eines Ellipsenpunktes von zwei vorgegebenen Punkten, den Brennpunkten, für alle Punkte gleich ist. Sind die Brennpunkte identisch, erhält man einen Kreis.

Jede Ellipse lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung

:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1</math>

oder Parameterdarstellung
:<math>x(t) = a\cos(t)</math>
:<math>y(t) = b\sin(t)</math>

beschreiben. Hieran erkennt man, dass man eine Ellipse als einen an der x-Achse um <math>a</math> und an der y-Achse um <math>b</math> gestreckten [[Einheitskreis]] auffassen kann.

Die Ellipse (von {{grcS|ἔλλειψις|élleipsis|de=das Unterlassen, Ausbleiben, Zurückbleiben}}) wurde von [[Apollonios von Perge]] (etwa 262–190 v. Chr.)<ref>Peter Proff: ''Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge.'' In: ''„gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems.'' Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (=&nbsp;Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S.&nbsp;17–34; hier S.&nbsp;17.</ref> eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die [[Exzentrizität (Mathematik)|Exzentrizität]] <math>\varepsilon < 1</math>.<ref>I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), [[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]] (Hrsg.): ''[[Taschenbuch der Mathematik|Teubner-Taschenbuch der Mathematik]].'' Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S.&nbsp;24.</ref>

Ellipsen treten nicht nur als ebene Schnitte eines Kegels auf. Auch auf [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]n, [[Ellipsoid]]en, [[Hyperboloid]]en und elliptischen [[Paraboloid]]en gibt es Ellipsen.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten [[Keplersche Gesetze|keplerschen]] [[Planetenbahn]]en um die [[Sonne]] auf. Auch beim Zeichnen von [[Schrägbild]]ern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine [[Parallelprojektion]] im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (siehe [[Ellipse (Darstellende Geometrie)]]).

== Definition einer Ellipse als geometrischer Ort ==
[[Datei:Ellipse parameters.svg|hochkant=1.3|mini|Diese Grafik zeigt die im nachfolgenden Text verwendeten Bezeichnungen auf]]
<imagemap>
Datei:Mathematische Kurven benachbart zu Ellipsen.svg|mini|hochkant=2|Klassendiagramm: Von oben nach unten werden die Kurven immer spezieller. Die Ellipse als Spezialisierung eines Ovals, eines Trochoiden und eines Kegelschnitts.
rect  626 89    715 133 [[Superformel]]
rect  626 178   715  222 [[Lamésche Kurve]]
rect  890   89    990 133 [[Oval]]
rect  890   178   990 222 [[Cassinische Kurve]]
rect  1000  267   1100 311[[Euklidisches Ei]]
rect  233   178  344 222 [[Trochoide]]
rect  450   178  540 222 [[en:Generalized_conic#Multifocal_oval_curves]]
rect  500   267  590 311 [[en:n-ellipse]]
rect  760   267  830 311 [[Cassinisches Oval]]
rect  890  267  990 311 [[Bernoulli Lemniskate]]
rect  1000  356  1100 400 [[Moss-Ei]]
rect  0     356  101 400 [[Hyperbel]]
rect  116.5 356  217.5 400 [[Parabel]]
rect  223   267  334 311 [[Hypotrochoide]]
rect  223   356  334 400 [[Ellipse]]
rect  223   439  334 500 [[Kreis]]
desc bottom-right

</imagemap>
[[Datei:Ellipse-def-dc.svg|hochkant=1.3|mini|Ellipse: Definition mit Leitkreis]]
[[Datei:Ellipse as hypotrochoid.gif|hochkant=1.3|mini|Ellipse als spezielle [[Hypozykloide#Hypotrochoide|Hypotrochoide]] bei q=2 (Animation)]]
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu [[Definition|definieren]]. Neben der üblichen Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als [[Schnittkurve]] zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] zu bezeichnen (siehe 1. Bild) oder als [[#Ellipse als affines Bild des Einheitskreises|affines Bild des Einheitskreises]].

Eine '''Ellipse''' ist der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] aller Punkte <math>P</math> der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], für die die [[Summe]] der [[Abstand|Abstände]] zu zwei gegebenen Punkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> gleich einer gegebenen Konstante ist. Diese Konstante wird üblicherweise mit <math>2a</math> bezeichnet. Die Punkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> heißen ''Brennpunkte:''
:<math>E = \{P \mid |PF_2| + |PF_1| = 2a\}</math>
Um eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] auszuschließen, setzt man voraus, dass <math>2a</math> größer als der Abstand <math>|F_1F_2|</math> der Brennpunkte ist.
Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist <math>E</math> ein ''[[Kreis]]'' mit Radius <math>a</math>. Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.<br />
Der Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{F_1F_2}</math> heißt ''Mittelpunkt'' der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die ''Hauptachse'' und die dazu orthogonale Gerade durch <math>M</math> die ''Nebenachse.'' Die beiden Ellipsenpunkte <math>S_1</math>und <math>S_2</math> auf der Hauptachse sind die ''Hauptscheitel.'' Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist <math>a</math> und heißt die ''große Halbachse.'' Die beiden Ellipsenpunkte <math>S_3</math> und <math>S_4</math> auf der Nebenachse sind die ''Nebenscheitel'', und ihr Abstand zum Mittelpunkt ist jeweils die ''kleine Halbachse'' <math>b</math>. Den Abstand <math>e</math> der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die ''lineare Exzentrizität'' und <math>\varepsilon=e/a</math> die ''numerische Exzentrizität.'' Mit dem [[Satz des Pythagoras]] gilt <math>a^2=e^2+b^2</math> (siehe Zeichnung).
Die Gleichung <math>|PF_2| + |PF_1| = 2a</math> kann man auch so interpretieren:
Wenn <math>c_2</math> der Kreis um <math>F_2</math> mit Radius <math>2a</math> ist, dann ist der Abstand des Punktes <math>P</math> zum Kreis <math>c_2</math> gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt <math>F_1</math>:
:<math>|PF_1|=|Pc_2|</math>
<math>c_2</math> heißt ''Leitkreis'' der Ellipse bzgl. des Brennpunktes <math>F_2</math>.
Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der ''[[#Direktrix|Leitlinieneigenschaft]]'' einer Ellipse (s. unten).

Mit Hilfe [[Dandelinsche Kugel|Dandelinscher Kugeln]] beweist man:
:Jeder ''Schnitt eines Kegels mit einer Ebene,'' die die Kegelspitze nicht enthält, und deren Neigung kleiner als die der Mantellinien des Kegels ist, ist eine Ellipse.

Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist eine Ellipse die [[Äquidistanz (Geometrie)|Äquidistanz-Kurve]] zu jedem ihrer [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

== Ellipse in kartesischen Koordinaten ==
=== Gleichung ===
A. Führt man [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]] so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, die <math>x</math>-Achse die Hauptachse ist, und
:die Brennpunkte die Punkte <math>F_1=(e,0),\ F_2=(-e,0)</math>,
:die ''Hauptscheitel'' <math>S_1=(a,0),\ S_2=(-a,0)</math> sind,
so ergibt sich für einen beliebigen Punkt <math>(x,y)</math> der Abstand zum Brennpunkt <math>(e,0)</math> als <math>\sqrt{ (x-e)^2 + y^2 }</math> und zum zweiten Brennpunkt <math>\sqrt{ (x+e)^2 + y^2 }</math>. Also liegt der Punkt <math>(x,y)</math> genau dann auf der Ellipse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
:<math>\sqrt{(x-e)^2 + y^2} + \sqrt{(x+e)^2 + y^2} = 2a</math>
Nach Beseitigung der Wurzeln durch geeignetes [[Quadrieren]] und Verwenden der Beziehung <math>b^2 = a^2-e^2</math> (s.&nbsp;o.) erhält man die Gleichung
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1</math> oder nach <math>y</math> aufgelöst
:<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}.</math>
<math>S_3=(0,b),\; S_4=(0,-b)</math> sind die [[Nebenscheitel der Ellipse|Nebenscheitel]]. Aus der Beziehung
<math>b^2 = a^2-e^2</math> erhält man die Gleichungen
:<math>e = \sqrt{a^2-b^2}</math> und <math>\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \ .</math>
Daraus ergeben sich noch die Beziehungen
:<math>b = a \sqrt{1 - \varepsilon^2}</math>
:<math>p = a \cdot (1 - \varepsilon^2)</math>
Ist <math>a = b</math>, so ist <math>\varepsilon = 0</math> und die Ellipse ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]].<br />
Ist <math>b = e</math>, so ist <math>\varepsilon = \tfrac{1}{\sqrt{2}}</math>, und man nennt die Ellipse eine ''gleichseitige Ellipse'' oder ''Ellipse schönster Form.'' Diese entsteht z.&nbsp;B., wenn man einen Drehzylinder mit einer gegen die Zylinderachse um 45° geneigten Ebene schneidet: Die Länge der kleinen Halbachse der Ellipse ist dabei gleich dem Radius des Zylinders.

B. Die Ellipse in A. lässt sich auch mithilfe einer [[Bilinearform]] als Lösungsmenge der Gleichung <math>\vec x^\mathrm{T}M\,\vec x=1</math> auffassen.<ref>Vgl. z.&nbsp;B. Annette Werner: ''[https://www.uni-frankfurt.de/50581212/geometrie.pdf Skript zur Vorlesung Geometrie.]'' (PDF; 241&nbsp;kB). Bei: ''Uni-Frankfurt.de.''</ref> Hierbei werden die Vektoren <math>x</math> und <math>x^\mathrm{T}</math> mit dem gleichen Punkt <math>X</math> identifiziert. Bei Einführung kartesischer Koordinaten ist <math>M</math> die [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]
<math>
  \begin{pmatrix}
    \frac{1}{a^2} & 0 \\
    0 & \frac{1}{b^2}
  \end{pmatrix}</math>, <math>\vec x^\mathrm{T} = (x,y)</math> ein Zeilenvektor und <math>\vec x = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}</math> ein Spaltenvektor.

C. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der <math>x</math>-Achse heißt auch ''in 1.&nbsp;Hauptlage.'' Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen, dass <math>a\ge b</math> und damit die Ellipse in 1.&nbsp;Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch <math>a<b</math> vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2.&nbsp;Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der <math>y</math>-Achse).

Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt:
:Eine Ellipse ist ''symmetrisch'' zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt.
(Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)

=== Halbparameter ===
Die halbe Länge <math>p</math> einer [[Sehne (Mathematik)|Ellipsensehne]], die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den '''Halbparameter''', manchmal auch nur ''Parameter <math>p</math>'' oder auch '''semi-latus rectum''' (die Hälfte des ''latus rectum'' = <math>2 \cdot p</math>) der Ellipse. Mit Hilfe der Gleichung einer Ellipse rechnet man leicht nach, dass
:<math>p = \frac{b^2}a</math>
gilt. Der Halbparameter hat noch die zusätzliche Bedeutung (s. unten): Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist <math>p</math>.

=== Tangente ===
A. Für den Hauptscheitel <math>(a,0)</math> bzw. <math>(-a,0)</math> hat die Tangente die Gleichung <math>x = a</math> bzw. <math>x = -a</math>. Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt <math>(x_0,y_0\neq0)</math> zu bestimmen, ist, die Gleichung <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}= 1</math> der Ellipse [[Implizite Differentiation|implizit zu differenzieren]]. Hiermit ergibt sich für die Ableitung
:<math>\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}= 0 \ \rightarrow \ y'=-\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}</math>
und damit die [[Tangente#Tangente in der Analysis|Punkt-Steigungs-Form]] der Tangente im Punkt <math>(x_0,y_0)</math>:
:<math>y=-\frac{x_0}{y_0}\frac{b^2}{a^2}(x-x_0) +y_0</math>
Berücksichtigt man <math>\tfrac{x_0^2}{a^2}+\tfrac{y_0^2}{b^2}= 1</math>, so erhält man als Gleichung der Tangente im Punkt <math>(x_0,y_0)</math>:
:<math>\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y = 1</math>
Diese Form schließt auch die Tangenten durch die Hauptscheitel ein. Letzteres gilt auch für die Vektorform
:<math>\vec x=\begin{pmatrix}x_0\\ y_0 \end{pmatrix}+s\; \begin{pmatrix}-ay_0/b\\ bx_0/a \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad s\in\mathbb{R}</math>.

B. Die in A. eingeführte Tangentengleichung <math>\tfrac{x_0}{a^2}x+\tfrac{y_0}{b^2}y = 1</math> lässt sich auch ohne Differentialrechnung als Spezialfall einer Polarengleichung einführen (s.&nbsp;u. [[Ellipse#Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare; alternative Herleitung einer Tangenten- und einer Ellipsengleichung|Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.]]). Sie entspricht einer [[Normalenform]] mit dem Normalenvektor <math>\vec n = \left(\tfrac{x_0}{a^2}, \tfrac{y_0}{b^2}\right)</math>. Von diesem lässt sich ein dazu rechtwinkeliger [[Parameterform#Aus der Normalenform|Richtungsvektor]] <math>\vec u</math> von <math>t</math> ablesen. Da <math>\vec u</math> nur bis auf einen Skalar eindeutig ist, hat er die Formen
:<math>\vec u = \begin{pmatrix} -y_0/b^2 \\ x_0/a^2 \end{pmatrix} =</math><math> \frac{1}{ab} \begin{pmatrix} -a y_0/b\\ b x_0/a \end{pmatrix} = </math><math>-\frac{y_0}{b^2} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{- x_0}{y_0} \frac{b^2}{a^2}\end{pmatrix}</math>;
dies liefert den Richtungsvektor der in A. angegebenen Vektorform und auch die Steigung der dort angegebenen [[Punktsteigungsform]].

Eine ''zeichnerische'' Bestimmung von Ellipsentangenten findet man im Artikel [[Ellipse (Darstellende Geometrie)]].

=== Gleichung einer verschobenen Ellipse ===
Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt <math>(m_1, m_2)</math> ist, ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:
:<math>\frac{(x-m_1)^2}{a^2} + \frac{(y-m_2)^2}{b^2} = 1</math>

=== Parameterdarstellungen ===
;Standarddarstellung
Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinus-Funktion]]. Wegen <math>\cos^2 t + \sin^2 t = 1</math> beschreibt
:<math>(a \cos t, b \sin t),\ 0\le t<2\pi</math>
die Ellipse <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1.</math>

Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter <math>t</math> geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt ''[[#Ellipsen zeichnen|Ellipsen zeichnen]]'' angegeben.

;Rationale Parameterdarstellung
[[Datei:Ellipse-ratpar.svg|300px|mini|Punkte einer Ellipse mit Hilfe der rationalen Parameterdarstellung berechnet (<math>\Delta u=0{,}2</math>)]]
Mit der Substitution <math>u = \tan(t/2)</math> und [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrischen Formeln]] erhält man
:<math>\cos t = (1-u^2)/(1+u^2)\ ,\quad \sin t = 2u/(1+u^2)</math>
und damit die [[Rationale Funktion|rationale]] Parameterdarstellung einer Ellipse:
:<math>\begin{array}{lcl} x(u) & = & a(1-u^2)/(1+u^2) \\ y(u) & = & 2bu/(1+u^2) \end{array} ,\quad -\infty<u<\infty\; .</math>

Die rationale Parameterdarstellung hat folgende Eigenschaften (s. Bild):
* Für <math>u=0</math> wird der positive Hauptscheitel dargestellt: <math>x(0) = a, y(0) = 0</math>; für <math>u=1</math> der positive Nebenscheitel: <math>x(1) = 0, y(1) = b</math>.
* Übergang zur [[Positive und negative Zahlen#Gegenzahl|Gegenzahl]] des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der <math>x</math>-Achse: <math>x(-u) = x(u), y(-u) = -y(u)</math>.
* Übergang zum [[Kehrwert]] des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der <math>y</math>-Achse: <math>x \left(\tfrac{1}{u}\right) = -x(u), y\left(\tfrac{1}{u}\right) = y(u)</math>.
* Der negative Hauptscheitel kann mit keinem reellen Parameter <math>u</math> dargestellt werden. Die Koordinaten desselben sind die [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwerte]] der Parameterdarstellung für unendliches positives oder negatives <math>u</math>: <math>\lim_{u \to \pm \infty} x(u)=-a, \lim_{u \to \pm \infty} y(u)=0</math>.

Rationale Parameterdarstellungen der [[Kegelschnitte]] (Ellipse, Hyperbel, Parabel) spielen im [[CAD]]-Bereich bei ''[[Bezierkurve#Kegelschnitte als rationale Bezierkurven|quadratischen rationalen Bezierkurven]]'' eine wichtige Rolle.<ref>J. Hoschek, D. Lasser: ''Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung.'' Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S.&nbsp;147.</ref>

;Tangentensteigung als Parameter
Eine Parameterdarstellung, die die ''Tangentensteigung'' <math>m</math> in dem jeweiligen Ellipsenpunkt verwendet, erhält man durch Differentiation der Parameterdarstellung <math>\vec x(t)=(a \cos t, b \sin t)^\mathrm{T}</math>:
:<math>\vec x'(t) = (-a\sin t, b\cos t)^\mathrm{T} \quad \rightarrow \quad m = -\frac{b}{a}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t = -\frac{ma}{b}.</math>
Mit Hilfe [[Formelsammlung Trigonometrie#Gegenseitige Darstellung|trigonometrischer Formeln]] ergibt sich
:<math>\cos t = \frac{\cot t}{\pm\sqrt{1+\cot^2t}} = \frac{-ma}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}\ ,\quad\quad
\sin t = \frac{1}{\pm\sqrt{1+\cot^2t}} = \frac{b}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}.</math>
Ersetzt man in der Standarddarstellung <math>\cos t</math> und <math>\sin t</math>, erhält man schließlich
:<math>\vec c_\pm(m) = \left(-\frac{ma^2}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}\;,\;\frac{b^2}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}\right)^\mathrm{T},\, m \in \R.</math>
Dabei ist <math>m</math> die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt, <math>\vec c_+</math> die obere und <math>\vec c_-</math> die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel <math>(\pm a,0)</math>) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.<br />
Die Gleichung der Tangente im Punkt <math>\vec c_\pm(m)</math> hat die Form <math>y=mx+n</math>. Der <math>y</math>-Abschnitt <math>n</math> ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des zugehörigen Ellipsenpunktes <math>\vec c_\pm(m)</math>:
:<math>y = m x \pm\sqrt{m^2a^2+b^2}</math>
Diese [[Geradengleichung#Haupt- oder Normalform|Hauptform]] der Tangentengleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der [[Orthoptische Kurve|orthoptischen Kurve]] einer Ellipse.

''Bemerkung:'' Die Hauptform der Tangentengleichung und die Koordinaten von <math>\vec c_\pm(m)</math> lassen sich auch ohne Differentialrechnung und ohne trigonometrische Formeln herleiten, indem die Tangente als Spezialfall einer Polare aufgefasst wird (s.&nbsp;u. [[Ellipse#Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare; alternative Herleitung einer Tangenten- und einer Ellipsengleichung|Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.]])

;Verschobene Ellipse
Eine ''verschobene Ellipse'' mit Mittelpunkt <math>(m_1,m_2)</math> wird durch
:<math>(m_1+a \cos t\; ,\; m_2+ b \sin t),\ 0\le t<2\pi</math>
beschrieben.

Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt [[#Ellipse als affines Bild des Einheitskreises|Ellipse als affines Bild des Einheitskreises]] enthalten.

== Eigenschaften ==
=== Brennpunkteigenschaft ===
{{Hauptartikel|Brennpunkt (Geometrie)}}

[[Datei:Ellpise tangente nomrmale foci eps.svg|mini|Brennpunkteigenschaft]]

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt ''Brennlinie, Leitstrahl'' oder ''Brennstrahl.'' Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der folgenden Eigenschaft:
:Der [[Winkel]] zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse wird durch die [[Normale]] in diesem Punkt halbiert.
;Anwendungen:
# Der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der [[Tangente]] bildet, ist gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein [[Lichtstrahl]], der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so [[Reflexion (Physik)|reflektiert]], dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.
# Da alle Wege von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zusammengehöriger Brennstrahlen) gleich lang sind, wird z.&nbsp;B. [[Schall]] durch [[Interferenz (Physik)|konstruktive Interferenz]] „verstärkt“ übertragen.
# Die Tangente im Ellipsenpunkt ist die [[Winkelhalbierende]] des [[Außenwinkel]]s. Da Winkelhalbierenden leicht zu konstruieren sind, bietet die Brennpunkteigenschaft eine einfache Methode, die Tangente in einem Ellipsenpunkt zu konstruieren (Eine weitere Tangentenkonstruktion wird in [[Ellipse (Darstellende Geometrie)#Konstruktion von Ellipsentangenten und deren Berührpunkte|Ellipse (Darstellende Geometrie)]] beschrieben.).

Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten <math>F_1,\; F_2</math> nennt man ''[[konfokal]].'' Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1,\; F_2</math>. Zwei konfokale Ellipsen haben ''keinen Schnittpunkt'' (s. Definition einer Ellipse).

'''Beweis der Brennpunkteigenschaft'''

Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge [[Aussage (Logik)|Aussage]] für die Tangente gilt:
[[Datei:Ellipse-reflex.svg|250px|mini|Die Tangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen]]
:Der [[Außenwinkel]] der Brennstrahlen <math>\overline{PF_1}, \overline{PF_2}</math> in einem Ellipsenpunkt <math>P</math> wird von der Tangente in diesem Punkt halbiert (s. Bild).

Es sei <math>L</math> der Punkt auf der Geraden <math>\overline{PF_2}</math> mit dem Abstand <math>2a</math> zum Brennpunkt <math>F_2</math> (<math>a</math> ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade <math>w</math> sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen <math>\overline{PF_1}, \overline{PF_2}</math>. Um nachzuweisen, dass <math>w</math> die Tangente ist, zeigt man, dass auf <math>w</math> kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der [[Dreiecksungleichung]] erkennt man, dass
:<math>|QF_2|+|QF_1|=|QF_2|+|QL|>|LF_2|=2a</math>
gilt. Dies bedeutet, dass <math>|QF_2|+|QF_1|>2a</math> ist. Wenn <math>Q</math> ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich <math>2a</math> sein.

''Bemerkung:'' Ein Beweis mit Mitteln der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] befindet sich im Beweisarchiv.<ref>Wikibooks: ''[https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Geometrie:_Satz_vom_Flüstergewölbe Beweisarchiv: Geometrie: Satz vom Flüstergewölbe.]''</ref>

'''Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik:'''

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich –&nbsp;mit den Ohren&nbsp;– in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („[[Flüstergewölbe]]“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der [[Métro Paris|Pariser Métro]] sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig.
Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von [[Nierenstein]]en mit [[Stoßwelle]]n verwendet.
Auch im lampengepumpten [[Nd:YAG-Laser]] wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle –&nbsp;entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe&nbsp;– wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

=== Direktrix ===
[[Datei:Ellipse def.svg|mini|hochkant=1.5|Ellipse mit Leitlinien]]
Für eine echte Ellipse, d.&nbsp;h. <math>e > 0</math>, bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand <math>a^2/e</math> als '''Direktrix''' oder '''Leitlinie.''' Für einen beliebigen Punkt <math>P</math> der Ellipse ist das Verhältnis seines [[Abstand]]s von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix <math>d</math> auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

:<math>|P F_1| : |P d_1| = |P F_2| : |P d_2| = \varepsilon.</math> Es ist <math>\varepsilon>0.</math>
'''Beweis:'''<br />
Mit <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow y^2 = b^2 -\tfrac{b^2x^2}{a^2}</math> sowie <math>e^2+b^2=a^2</math> und den [[Binomische Formeln#Die Formeln|binomischen Formeln]] ist

:<math>|PF_{1,2}|^2 = (x \mp e)^2 + y^2 =</math>

:<math>{(x \mp e)^2 + b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2} = \frac{a^2x^2}{a^2} \mp 2ex + e^2 + b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2} = \frac{e^2x^2}{a^2} \mp 2 \frac{ex}{a} \cdot a + a^2 = \left(\frac{ex}{a} \mp \frac{ea^2}{ae}\right)^2 =}</math>

:<math>\left(\frac{e}{a}\right)^2 \left(x \mp \frac{a^2}{e}\right)^2 = \varepsilon^2 |P d_{1,2}|^2</math>.

Die ''Umkehrung'' dieser Aussage gilt auch und kann zu einer weiteren Definition
einer Ellipse benutzt werden (ähnlich wie bei einer Parabel):
:Für einen Punkt <math>F</math> (Brennpunkt), eine Gerade <math>d</math> (Leitlinie) nicht durch <math>F</math> und eine reelle Zahl <math>\varepsilon</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1</math> ist die Menge der Punkte (geometrischer Ort), für die der Quotient der Abstände zu dem Punkt <math>F</math> und der Geraden <math>d</math> gleich <math>\varepsilon</math> ist, eine Ellipse:
:<math>E = \{P \mid \frac{|PF|}{|Pd|} = \varepsilon\}</math>

Die Wahl <math>\varepsilon=0</math>, also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.
[[Datei:Kegelschnitt-Schar.svg|mini|Kegelschnittschar mit einem gemeinsamen Scheitel und einem gemeinsamen Halbparameter]]
'''Beweis:'''

Es sei <math>F=(f,0) ,\ \varepsilon>0</math> und <math>(0,0)</math> ein Punkt der Kurve.
Die Leitlinie <math>d</math> hat die Gleichung <math>x=-\tfrac{f}{\varepsilon}</math>. Mit <math>P=(x,y)</math> und der Beziehung <math>|PF|^2=\varepsilon^2|Pd|^2</math> ergibt sich
:<math>(x-f)^2+y^2=\varepsilon^2(x+\tfrac{f}{\varepsilon})^2=(\varepsilon x+f)^2</math> und <math>x^2(\varepsilon^2-1)+2xf(1+\varepsilon)-y^2=0.</math>
Die Substitution <math>p=f(1+\varepsilon)</math> liefert
:<math>x^2(\varepsilon^2-1)+2px-y^2=0.</math>
Dies ist die Gleichung einer ''Ellipse'' (<math>\varepsilon<1</math>) oder einer ''Parabel'' (<math>\varepsilon=1</math>) oder einer ''Hyperbel'' (<math>\varepsilon>1</math>). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).

Für <math>\varepsilon<1</math> führt man neue Parameter <math>a = \tfrac{p}{1 -\varepsilon^2}</math> und <math>b^2= a p \Rightarrow 1-\varepsilon^2 =\tfrac{b^2}{a^2}</math> ein; die obige Gleichung wird dann zu
:<math>\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ ,</math>
was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt <math>(a,0)</math>, der <math>x</math>-Achse als Hauptachse und den Halbachsen <math>a,b</math> ist.

'''Allgemeiner Fall:'''

Für den Brennpunkt <math>F=(f_1,f_2)</math> und die Leitlinie <math>ux+vy+w=0</math> erhält man die Gleichung
:<math>\left(x-f_1\right)^2+\left(y-f_2\right)^2= \varepsilon^2\cdot\frac{\left(ux+vy+w\right)^2}{u^2+v^2}.</math>

Die rechte Seite der Gleichung benutzt die [[Hessesche Normalform]] einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu berechnen.

[[Datei:Leitlinien-konstr.svg|mini|hochkant=1.2|Leitlinienkonstruktion]]
'''Konstruktion der Leitlinie:'''

Wegen <math>e\cdot\tfrac{a^2}{e}=a^2</math> sind der Punkt <math>D_1</math> der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt <math>F_1</math> bezüglich der [[Kreisspiegelung|Spiegelung am großen Scheitelkreis]] (im Bild grün) invers. Damit kann <math>D_1</math> wie im Bild gezeigt aus <math>F_1</math> mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden. Eine weitere Begründung für die Konstruktion liefert die Tatsache, dass der Brennpunkt <math>F_1</math> und die Leitlinie <math>d_1</math> sowohl bezüglich der Ellipse als auch bezüglich des großen Scheitelkreises ein ''Pol-Polare''-Paar (siehe unten) bilden.

=== Konjugierte Durchmesser ===
[[Datei:Ellipse conjugated diameter.svg|mini|Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern]]

* Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer [[Sehne (Mathematik)|Ellipsensehne]] durch den Ellipsenmittelpunkt) <math>\overline{PP'}</math> alle [[Parallel (Geometrie)|parallelen]] Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser <math>\overline{QQ'}</math>. Man nennt <math>\overline{QQ'}</math> den zu <math>\overline{PP'}</math> [[Konjugierte Durchmesser|konjugierten Durchmesser]].<ref>Diese und die folgenden Aussagen finden sich in Bosch: ''Mathematik-Taschenbuch.'' Dritte Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1991, S.&nbsp;227&nbsp;f.).</ref>
* Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen. In der Zeichnung stimmt also der zu <math>\overline{QQ'}</math> konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser <math>\overline{PP'}</math> überein.
* Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers (etwa <math>\overline{PP'}</math>) sind parallel zum konjugierten Durchmesser (im Beispiel <math>\overline{QQ'}</math>).
* Haupt- und Nebenachse sind das einzige Paar orthogonaler konjugierter Durchmesser.
* Ist die Ellipse ein Kreis, so sind genau die orthogonalen Durchmesser (auch) konjugiert.
* Sind konjugierte Durchmesser nicht orthogonal, so ist das Produkt ihrer Steigungen <math>\tfrac{-b^2}{a^2}</math>.
* Seien <math>d_1</math>, <math>d_2</math> konjugierte Durchmesser. Dann ist <math>\left(\tfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 + b^2</math>. ([[Satz von Apollonios|Satz des Apollonius]])
* Für die Ellipse mit der Gleichung <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> und der Parameterdarstellung <math>(a\cos t,b\sin t)</math> gilt:
:<math>(x_1,y_1)=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad </math> ( Vorzeichen: (+,+) oder (−,−) )
:<math>(x_2,y_2)=({\color{red}{\mp}} a\sin t,\pm b\cos t)\quad </math> ( Vorzeichen: (−,+) oder (+,−) )
:liegen auf konjugierten Durchmessern und es ist
:<math>\frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}=0\ .</math>
:Im Fall eines Kreises gilt <math>x_1x_2+y_1y_2=0\ . </math>

Konjugierte Durchmesser (erstrangig von Ellipsen) werden auch auf einer eigenen Wikipedia-Seite behandelt, ebenso der [[Satz von Apollonios|Satz des Apollonius]] (samt Beweis). Ein analytischer Gesamt-Beweis sämtlicher hier aufgeführter Aussagen, der von der gemeinsamen Bilinearform zweier Ursprungsgeraden ausgeht, findet sich im Beweisarchiv. Dieser Beweis benötigt weder trigonometrische Funktionen noch Parameterdarstellungen noch eine affine Abbildung.<ref>Wikibooks: ''[https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Geometrie:_Konjugierte_Durchmesser Beweisarchiv: Geometrie: Konjugierte Durchmesser.]''</ref>

Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des [[Technisches Zeichnen|technischen Zeichnens]] besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden&nbsp;– nützlich z.&nbsp;B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normalerweise den Endpunkt des Ellipsenbogens).

[[Datei:Orthoptic-ellipse-s.svg|mini|Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)]]

=== Orthogonale Tangenten ===
{{Hauptartikel|Orthoptische Kurve}}
Für die Ellipse <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> liegen die [[Schnittpunkt]]e ''orthogonaler'' Tangenten auf dem Kreis <math>x^2+y^2=a^2+b^2</math>.

Diesen Kreis nennt man die ''orthoptische Kurve'' der gegebenen Ellipse, es ist der [[Umkreis]] des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

=== Pol-Polare-Beziehung ===
Führt man [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]] so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, so kann eine beliebige Ellipse mit der Gleichung <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2} = 1</math> beschrieben werden (s.&nbsp;o. Abschnitt [[Ellipse#Gleichung|Gleichung]]). Weiter ordnet für eine vorgegebene Ellipse eine Funktion <math>f</math> je einem Punkt <math>P_0=(x_0,y_0)</math> die Gerade <math>\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2} = 1</math> zu. Bezüglich <math>f</math> heißt <math>P_0</math> '''Pol''', die zugeordnete Gerade '''Polare'''.
<math>f</math> ist eine [[Bijektion]]; die [[inverse Funktion]] bildet je eine Polare auf einen Pol ab. Der Ellipsenmittelpunkt <math>(0,0)</math> ist in keiner so definierten Polare enthalten, entsprechend existiert zu <math>(0,0)</math> keine Polare. Die angegebene Gleichung der Polare lässt sich als [[Normalenform]] mit dem zugehörigen Normalenvektor <math>\left(\tfrac{x_0}{a^2},\tfrac{y_0}{b^2}\right)</math> auffassen.

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man ''Pol-Polare-Beziehung'' oder einfach ''Polarität''. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] und [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]], siehe auch [[Pol und Polare]].
[[Datei:Ellipse-pol.svg|250px|mini|Ellipse: Pol-Polare-Beziehung]]

Zu Pol und Polare gelten folgende Lagebeziehungen:

* Der Brennpunkt <math>(e,0)</math> und die Leitlinie <math>x=\tfrac{a^2}{e}</math> sind polar zueinander. Da beide auch polar bezüglich des Scheitelkreises <math>x^2+y^2=a^2</math> sind, lässt sich die Leitlinie auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren (siehe hierzu auch [[Kreisspiegelung]]). '''(1)'''
* Genau dann, wenn der Pol außerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare zwei Punkte mit der Ellipse gemeinsam (s.&nbsp;Bild: <math>P_2,\ p_2</math>). '''(2)'''
* Genau dann, wenn der Pol auf der Ellipse liegt, hat die Polare genau einen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (= die Polare ist eine Tangente; s.&nbsp;Bild: <math>P_1,\ p_1</math>). '''(3)'''
* Genau dann, wenn der Pol innerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (s.&nbsp;Bild: <math>F_1,\ l_1</math>). '''(4)'''
* Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol <math>P</math> an die Ellipse (s. Bild: <math>P_2,\ p_2</math>). '''(5)'''
* Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Geraden durch die Pole. '''(6)'''

=== Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare; alternative Herleitung einer Tangenten- und einer Ellipsengleichung ===
A. Ist eine Polare parallel zur <math>y</math>-Achse, so hat sie auch die Form <math>0 \ne c = x \Leftrightarrow \frac{1}{c} \cdot x +0 \cdot y = 1</math>. Mit dem zugehörigen Normalenvektor <math>\left(\tfrac{x_0}{a^2} = \tfrac{1}{c}, \tfrac{y_0}{b^2} = 0\right)</math> ist der zugehörige Pol <math>\left(x_0 = \tfrac{a^2}{c}, y_0 = 0\right).</math> Insbesondere folgt für <math>x_0 = \tfrac{a^2}{c} = e \Leftrightarrow c = \tfrac{a^2}{e}</math> die Polarität '''(1)''' von Brennpunkt und Direktrix.

Einsetzen der betrachteten Polare in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Ordinate <math>y</math> eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung <math>\tfrac{c^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1</math>; die [[Diskriminante#Diskriminante einer quadratischen Gleichung|Diskriminante]] dieser quadratischen Gleichung in <math>y</math> hat bis auf einen positiven Faktor die Form
:<math> T_1 = \left(\frac{a^2}{c^2} -1 = \right)\quad\ \frac{x_0^2}{a^2} -1</math>.

B. Ist eine Polare nicht parallel zur <math>y</math>-Achse, so hat sie die [[Geradengleichung#Haupt- oder Normalform|Hauptform]] <math>y = mx+n</math>. Wegen <math>n \neq 0</math> lässt sich diese in die Normalenform <math>-mx/n +y/n= 1</math> umformen. Vergleich mit der Normalenform ergibt als Darstellung Koordinaten des Pols mit den Parametern der Hauptform:
:<math>x_0 = -\frac{ma^2}{n}, \quad\ y_0=\frac{b^2}{n}</math>.

Einsetzen der Hauptform <math>y = mx +n</math> in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Abszisse <math>x</math> eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung <math>\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{(mx +n)^2}{b^2} = 1</math>; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in <math>x</math> hat bis auf einen positiven Faktor die Form
:<math>T_2 = \left(\frac{m^2a^2}{n^2}+\frac{b^2}{n^2} -1=\right) \quad\ \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} -1. </math>

C. Insgesamt erlaubt der Term <math>T=T_1</math> bzw. <math>T=T_2</math> für eine beliebige Polare folgende Unterscheidung paarweise disjunkter Fälle:
* Für <math>T<0</math> hat die Polare mit der Ellipse keinen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt innerhalb der Ellipse. Hieraus folgt '''(2)'''.
* Für <math>T=0</math> hat die Polare mit der Ellipse ''genau einen'' Punkt gemeinsam, und der Pol liegt auf der Ellipse. Also ist die Polare eine '''Tangente''' an die Ellipse, der Pol ihr Berührpunkt (s.&nbsp;Bild: <math>P_1,\ p_1</math>). Hieraus folgt '''(3)'''.
* Für <math>T>0</math> hat die Polare mit der Ellipse zwei Punkte gemeinsam, und der Pol liegt außerhalb der Ellipse. Hieraus folgt '''(4)'''.

D. Ist eine Tangente nicht senkrecht, so ergibt Auflösung der Gleichung <math>T_2=0</math> nach <math>n</math> und Einsetzen von <math>n</math> die Hauptform der Tangente:

<math>\quad\ y = m x \pm\sqrt{m^2a^2+b^2}</math>;

Einsetzen von <math>n</math> in die Koordinaten <math>x_0 = -\tfrac{ma^2}{n}, y_0=\tfrac{b^2}{n}</math> des Berührpunkts ergibt die Koordinaten der Parameterdarstellung einer Ellipse mit der Steigung <math>m</math> als Parameter:
<math>\quad\ \vec c_\pm(m) = \left(-\frac{ma^2}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}\;,\;\frac{b^2}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}\right)^\mathrm{T},\, m \in \R</math>;

diese Parameterdarstellung erfasst die Hauptscheitel nicht.

E. Ausgehend von der im [[#Gleichung|Abschnitt „Gleichung“]], B. aufgeführten Bilinearform der Ellipse hat die Polare zum Punkt <math>P</math> die Normalenformen
:<math>\vec p^\mathrm{T} M \vec x = 1</math> mit dem Normalenvektor <math>\vec n^\mathrm{T} = \vec p^\mathrm{T} M</math> und
:<math>\vec x^\mathrm{T} M \vec p = 1</math> mit dem Normalenvektor <math>M \vec p = \vec n</math>.
Ist <math>P</math> ein Punkt der Ellipse, so beschreiben auch diese Gleichungen eine Tangente.

Diese koordinatenfreie rechnerische Darstellung der Polare eignet sich für Beweise. Mit den Koordinatendarstellungen <math>P(x_0, y_0)</math> und <math>X(x,y)</math> sowie den im [[#Gleichung|Abschnitt „Gleichung“]] angegebenen Matrizenkoordinaten für <math>M</math> entsteht durch Auswertung der Matrizenprodukte wieder die im [[Ellipse#Pol-Polare-Beziehung|Abschnitt ''Pol-Polare-Beziehung'']] angegebene Gleichung <math>\tfrac{x_0}{a^2}x+\tfrac{y_0}{b^2}y = 1</math>.

'''Beweis''' von '''(5)''' („Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol <math>P</math> an die Ellipse.“):<br />
Da die Ellipsenpunkte <math>S_1, S_2</math> auf der Polare zu <math>P</math> liegen, gilt <math>\vec s_1^\mathrm{T} M \vec p = 1</math> und <math>\vec s_2^\mathrm{T} M \vec p = 1</math>. Fasst man in diesen Gleichungen nicht <math>M \vec p</math>, sondern <math>\vec s_1^\mathrm{T} M</math> bzw. <math>\vec s_2^\mathrm{T} M</math> als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass die Tangenten in den Ellipsenpunkten <math>S_1, S_2</math> den Punkt <math>P</math> gemeinsam haben.

'''Beweis''' von '''(6)''' („Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Gerade durch die Pole.“):<br />
Für einen Schnittpunkt <math>S</math> zweier Polaren zu <math>P_1</math> und <math>P_2</math> gilt <math>\vec s^\mathrm{T} M \vec p_1 = 1</math> und <math>\vec s^\mathrm{T} M \vec p_2 = 1</math>. Fasst man in diesen Gleichungen nicht <math>M \vec p_1</math> bzw. <math>M \vec p_2</math>, sondern <math>\vec s^\mathrm{T} M = \vec n^\mathrm{T}</math> als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass auf der Polare zu <math>S</math> die Punkte <math>P_1</math>, <math>P_2</math> liegen. Weiter zeigt die Betrachtung der [[Parameterform#Aus der Zweipunkteform|Parameterform]] <math>\vec x = \vec p_1 + \lambda (\vec p_2 -\vec p_1)</math> mit

:<math>\vec n^\mathrm{T} \vec x = \vec n^\mathrm{T}\vec p_1 + \lambda (\vec n^\mathrm{T} \vec p_2 -\vec n^\mathrm{T} \vec p_1) = 1 + \lambda (1 -1) = 1 = \vec s^\mathrm{T} M \vec x</math>

die punktweise Gleichheit der Gerade <math>(P_1 P_2)</math> mit der Polare zu <math>S</math>.

== Ellipse als affines Bild des Einheitskreises ==
[[Datei:Ellipse-aff.svg|mini|Ellipse als affines Bild des Einheitskreises]]
Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die [[Affinität (Mathematik)|Affinität]]. Hier ist die Ellipse als ''affines Bild des Einheitskreises'' definiert.<ref>Siehe: Cornelie Leopold, S.&nbsp;55.</ref>

=== Parameterdarstellung ===
Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form <math>\vec x \to \vec f_0+A\vec x</math>, wobei <math>A</math> eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und <math>\vec f_0</math> ein beliebiger Vektor ist. Sind <math>\vec f_1,\; \vec f_2</math> die Spaltenvektoren der Matrix <math>A</math>, so wird der Einheitskreis <math>(\cos t,\sin t), 0\le\ t \le 2\pi,</math> auf die Ellipse
:<math>\vec x = \vec p(t)= \vec f_0 +\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t</math>
abgebildet. <math>\vec f_0</math> ist der Mittelpunkt und <math>\vec f_1,\; \vec f_2</math> sind zwei konjugierte Halbmesser (s.&nbsp;u.) der Ellipse. <math>\vec f_1,\; \vec f_2</math> stehen i.&nbsp;A. nicht senkrecht aufeinander. D.&nbsp;h., <math>\vec f_0\pm \vec f_1</math> und <math>\vec f_0\pm \vec f_2</math> sind i.&nbsp;A. ''nicht'' die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s.&nbsp;u.) einer beliebigen Ellipse.

;Scheitel, Scheitelform
Da in einem ''Scheitel'' die [[Tangente]] zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt <math>\vec p'(t) = -\vec f_1\sin t + \vec f_2\cos t</math> ist, ergibt sich der Parameter <math>t_0</math> eines Scheitels aus der Gleichung
:<math>\vec p'(t)\cdot (\vec p(t) -\vec f_0) = (-\vec f_1\sin t + \vec f_2\cos t)\cdot(\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t) =0</math>
und damit aus <math>\cot (2t_0)= \tfrac{\vec f_1^{\, 2}-\vec f_2^{\, 2}}{2\vec f_1 \cdot \vec f_2}</math>.<br />
(Es wurden die Formeln <math>\cos^2 t -\sin^2 t=\cos 2t,\ 2\sin t \cos t = \sin 2t</math> benutzt.)

Falls <math>\vec f_1 \cdot \vec f_2=0</math> ist, ist <math>t_0=0</math> und die Parameterdarstellung schon in [[Scheitelpunkt|Scheitelform]].

Die ''4 Scheitel'' der Ellipse sind <math>\vec p(t_0),\vec p(t_0\pm\frac{\pi}{2}),\vec p(t_0+\pi).</math>

Die ''Scheitelform'' der Parameterdarstellung der Ellipse ist
:<math>\vec x = \vec p(t)= \vec f_0 +(\vec p(t_0)-\vec f_0) \cos (t-t_0) +(\vec p(t_0+\tfrac{\pi}{2})-\vec f_0) \sin (t-t_0).</math>

;Halbachsen
Mit den Abkürzungen
<math>\; M=\vec f_1^2+\vec f_2^2, \ N=|\det(\vec f_1,\vec f_2)| \; </math> folgt aus den beiden [[Satz von Apollonios|Sätzen von Apollonios]]:
:<math>a^2+b^2=M, \quad ab=N </math>
Löst man nach <math>a,b</math> auf, ergibt sich (s. [[Steiner-Ellipse]])
:<math>a=\frac{1}{2}(\sqrt{M+2N}+\sqrt{M-2N})</math>
:<math>b=\frac{1}{2}(\sqrt{M+2N}-\sqrt{M-2N})\ .</math>

;Flächeninhalt
Aus dem zweiten [[Satz von Apollonios]] folgt: <br>
Der ''Flächeninhalt'' einer Ellipse <math>\;\vec x = \vec f_0 +\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t\; </math> ist
:<math>A=\pi|\det(\vec f_1, \vec f_2)| \ .</math>
Für ''Beispiel 3'' ist <math>\ A=\pi\;2\sqrt 3\ .</math>

;Beispiele
# <math>\vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix}</math> liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 :\quad \vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ b\sin t \end{pmatrix}</math>.[[Datei:Ellipsen-rot-skal.svg|mini|Folge von Ellipsen: rotiert und so skaliert, dass zwei aufeinanderfolgende Ellipsen sich berühren]]
# <math>\vec f_0=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a\cos \varphi \\ a\sin \varphi\end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} -b\sin \varphi \\ b \cos \varphi\end{pmatrix}</math> liefert die [[Parameterdarstellung]] der Ellipse, die aus <math>\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1</math> durch Drehung um den Winkel <math>\varphi</math> und anschließende Verschiebung um <math>\vec f_0</math> hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D.&nbsp;h., <math>\vec f_0\pm \vec f_1</math> und <math>\vec f_0\pm \vec f_2</math> sind die Scheitel der Ellipse.[[Datei:Ellipse-sf.svg|mini|hochkant=1|Transformation auf Scheitelform (Beispiel&nbsp;3)]]
# Die Parameterdarstellung
:::<math>\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 0 \end{pmatrix}\cos t+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\sin t</math>
::einer Ellipse ist ''nicht'' in Scheitelform.
::Der Scheitelparameter ergibt sich aus <math>\cot (2t_0)=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> zu <math>t_0=-\tfrac{\pi}{6}</math>.
::Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
:::<math>\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} \ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cos (t+\tfrac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\sin (t+\tfrac{\pi}{6})</math>
::Die Scheitel sind: <math>(1,-1),(-1,1),(\sqrt{3},\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3})</math> und
::die Halbachsen: <math>a=\sqrt{2},\ b=\sqrt{6}.</math>

=== Implizite Darstellung ===
Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der [[Cramersche Regel|Cramerschen Regel]] nach <math>\; \cos t,\sin t\;</math> auf und verwendet <math>\;\cos^2t+\sin^2t -1=0\; </math>, erhält man die implizite Darstellung
:<math>\det(\vec x\!-\!\vec f\!_0,\vec f\!_2)^2+\det(\vec f\!_1,\vec x\!-\!\vec f\!_0)^2-\det(\vec f\!_1,\vec f\!_2)^2=0</math>.
Für ''Beispiel 3'' ergibt sich: <math>\ x^2-xy+y^2-3=0\ .</math>

Dreht man die Ellipse mit der Gleichung <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> um den Nullpunkt (Mittelpunkt), hat ihre Gleichung die Form
:<math>x^2+2cxy+d^2y^2-e^2=0\ ,</math> wobei <math>d^2-c^2 >0 \; </math> ist.
Liegt umgekehrt die Gleichung einer gedrehten Ellipse vor und man möchte die Vorteile der hier beschriebenen Parameterdarstellung nutzen, bestimmt man die Ortsvektoren zweier konjugierter Punkte. Wählt man als ersten Punkt <math>(e,0)</math>, ergibt sich:
:<math>\vec f_1={e \choose 0},\quad \vec f_2=\frac{e}{\sqrt{d^2-c^2}}{-c\choose 1}\ .</math>

''Beispiel:'' Für die Ellipse mit der Gleichung <math>\;x^2+2xy+3y^2-1=0\; </math> sind
:<math>\vec f_1={1 \choose 0},\quad \vec f_2=\frac{1}{\sqrt{2}}{-1\choose 1} </math>
die Ortsvektoren zweier konjugierter Punkte.

=== Ellipse im Raum ===
Sind die [[Vektor]]en <math>\vec f_0,\; \vec f_1,\; \vec f_2</math> aus dem <math>\R^3</math>, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

== Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform für Ellipsen ==
=== Kreise ===
[[Datei:Inscribe-a-c.svg|mini|Kreis: Peripheriewinkelsatz]]
Ein Kreis mit der Gleichung <math>(x-c)^2+(y-d)^2=r^2,\ r> 0</math> ist durch drei Punkte <math>(x_1,y_1),\; (x_2,y_2),\; (x_3,y_3)</math> nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt. Eine einfache Methode, die Parameter <math>c,d,r</math> zu bestimmen, benutzt den [[Peripheriewinkelsatz]] für Kreise:
:Vier Punkte <math>P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,4</math> (s. Bild) liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei <math>P_3</math> und <math>P_4</math> gleich sind.

Üblicherweise misst man einen einbeschriebenen Winkel in [[Grad (Winkel)|Grad]] oder [[Radiant (Einheit)|Radiant]]. Um die Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte zu bestimmen, ist das folgende ''Winkelmaß'' geeigneter:
:Um den ''Winkel'' zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen <math>y=m_1x+d_1, \ y=m_2x + d_2, \ m_1\ne m_2</math> zu ''messen,'' wird hier der folgende Quotient benutzt:
::<math>\frac{1+m_1\cdot m_2}{m_2-m_1}</math>
:Dieser Quotient ist der ''[[Kotangens]] des Schnittwinkels der beiden Geraden.''

'''Peripheriewinkelsatz für Kreise:'''<br />
Für vier Punkte <math>P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,4</math>, keine drei auf einer Geraden (s. Bild), gilt:
:Die vier Punkte liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei <math>P_3</math> und <math>P_4</math> im obigen Winkelmaß gleich sind, d.&nbsp;h., wenn:
::<math>\frac{(x_4-x_1)(x_4-x_2)+(y_4-y_1)(y_4-y_2)}
              {(y_4-y_1)(x_4-x_2)-(y_4-y_2)(x_4-x_1)}=
         \frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
              {(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}</math>
Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

'''3-Punkteform einer Kreisgleichung:'''
:Die Gleichung des Kreises durch die 3 Punkte <math>P_i=(x_i,y_i)</math> nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):
::<math>\frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
              {({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)}=
         \frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
              {(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}</math>
Diese Formel lässt sich durch Verwenden der Ortsvektoren, des Skalarproduktes und der Determinante übersichtlicher schreiben:
::<math>\frac{({\color{red}\vec x}-\vec x_1)\cdot({\color{red}\vec x}-\vec x_2)}{\det({\color{red}\vec x}-\vec x_1,{\color{red}\vec x}-\vec x_2)}=\frac{(\vec x_3-\vec x_1)\cdot(\vec x_3-\vec x_2)}{\det(\vec x_3-\vec x_1,\vec x_3-\vec x_2)} \; .</math>

'''Beispiel:'''

Für <math>P_1=(2,0),\; P_2=(0,1),\; P_3=(0,0)</math> ergibt sich zunächst die 3-Punkteform
:<math>\frac{(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}=0</math> und schließlich <math>(x-1)^2+(y-1/2)^2=5/4\ .</math>

=== Ellipsen ===
In diesem Abschnitt werden nur Ellipsen betrachtet mit Gleichungen
:<math>\frac{(x-c)^2}{a^2}+ \frac{(y-d)^2}{b^2}=1 \quad \leftrightarrow \quad (x-c)^2+\frac{a^2}{b^2}(y-d)^2=a^2, \quad c,d,\in \R, \ a > 0 \ ,</math>
für die der Quotient <math>\tfrac{a^2}{b^2}</math> fest (invariant) ist.
Mit der Abkürzung <math>{\color{blue}q} = \tfrac{a^2}{b^2}</math> erhält man die geeignetere Form
:<math>(x-c)^2+{\color{blue}q}\; (y-d)^2=a^2,\quad c,d \in \R,\quad a> 0</math> und <math>q>0</math> ''fest.''
Die Achsen solcher Ellipsen sind parallel zu den Koordinatenachsen und ihre ''Exzentrizität'' (s. oben) ist fest.
Die Hauptachse ist parallel zur <math>x</math>-Achse, falls <math>q>1</math> ist, und parallel zur <math>y</math>-Achse, falls <math>q<1</math> ist.
[[Datei:Inscribe-a-e.svg|mini|Ellipse: Peripheriewinkelsatz]]
Wie beim Kreis ist so eine Ellipse durch drei Punkte nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt.

Für diesen allgemeineren Fall führt man das folgende Winkelmaß ein:<ref>E. Hartmann: ''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Planar Circle Geometries, an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski-planes.]'' (PDF; 870&nbsp;kB). S.&nbsp;55.</ref><ref>W. Benz: ''Vorlesungen über Geometrie der Algebren.'' [[Springer Science+Business Media|Springer]] (1973).</ref>
:Um den ''Winkel'' zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen <math>y=m_1x+d_1, \ y=m_2x + d_2, \ m_1\ne m_2</math> zu ''messen,'' wird hier der folgende Quotient benutzt:
::<math>\frac{1+{\color{blue}q}\; m_1\cdot m_2}{m_2-m_1}</math>

'''Peripheriewinkelsatz für Ellipsen:'''<br />
Für vier Punkte <math>P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,4</math> keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:
:Die vier Punkte liegen genau dann auf einer Ellipse mit der Gleichung <math>(x-c)^2+q\; (y-d)^2=a^2</math>, wenn die Winkel bei <math>P_3</math> und <math>P_4</math> im obigen Winkelmaß gleich sind, d.&nbsp;h., wenn:
::<math>\frac{(x_4-x_1)(x_4-x_2)+{\color{blue}q}\;(y_4-y_1)(y_4-y_2)}
              {(y_4-y_1)(x_4-x_2)-(y_4-y_2)(x_4-x_1)}=
         \frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+{\color{blue}q}\;(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
              {(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}</math>
Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Der Beweis ergibt sich durch einfaches Nachrechnen. Dabei kann man im Fall „Punkte auf einer Ellipse&nbsp;…“ annehmen, dass der Mittelpunkt der Ellipse der Ursprung ist.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

'''3-Punkteform einer Ellipsengleichung:'''<br />
Die Gleichung der Ellipse durch die 3 Punkte <math>P_i=(x_i,y_i)</math> nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):
:<math>\frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+{\color{blue}q}\;({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
            {({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)} =
       \frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+{\color{blue}q}\;(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
            {(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}</math>
Diese Formel lässt sich (wie beim Kreis) übersichtlicher darstellen durch
:<math>\frac{({\color{red}\vec x}-\vec x_1)*({\color{red}\vec x}-\vec x_2)}
        {\det({\color{red}\vec x}-\vec x_1,{\color{red}\vec x}-\vec x_2)} =
       \frac{(\vec x_3-\vec x_1)*(\vec x_3-\vec x_2)}
        {\det(\vec x_3-\vec x_1,\vec x_3-\vec x_2)} \; ,</math>
wobei <math>*</math> das hier geeignete [[Skalarprodukt#Definition (Axiomatik)|Skalarprodukt]] <math>\vec u * \vec v=u_xv_x+{\color{blue}q}u_yv_y</math> beschreibt.

'''Beispiel:'''

Für <math>P_1=(2,0),\; P_2=(0,1),\; P_3=(0,0)</math> und <math>q=4</math> ergibt sich zunächst die 3-Punkteform
:<math>\frac{(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}=0</math> und schließlich <math>\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y-1/2)^2}{1/2}=1</math>.

== {{Anker|Ellipsenzirkel|Konstruktion}}Ellipsen zeichnen ==
[[Datei:Wuerfel-kr-vp.svg|170px|mini|Würfel mit Kreisen in [[Axonometrie|Vogelperspektive]]]]
Ellipsen treten in der darstellenden Geometrie als [[Ellipse (Darstellende Geometrie)|Bilder von Kreisen]] auf.
Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:
* ''einzelne Punkte,'' die man mit einem Kurvenlineal zu einer glatten Kurve verbindet,
* ''stetige Konstruktionen,'' die man technisch als ''Ellipsenzirkel'' realisieren kann und
* eine ''Approximation'' einer Ellipse mit Hilfe ihrer Scheitelkrümmungskreise und eines Kurvenlineals.

Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei ''Papierstreifenmethoden'' zugrunde. Diese waren schon den Griechen ([[Archimedes]] und [[Proklos]]) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel [[Ellipsograph des Archimedes]] nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.

Für jede hier beschriebene Methode ist die Kenntnis der beiden (Symmetrie-)Achsen und der Halbachsen <math>a,b</math> erforderlich.
Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei [[konjugierte Halbmesser]] kennen. Mit Hilfe der [[Rytzsche Achsenkonstruktion|Rytz-Konstruktion]] lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s.&nbsp;unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.

=== Gärtnerkonstruktion ===
Die definierende Eigenschaft einer Ellipse – die Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant – nutzt die [[Gärtnerkonstruktion]] als einfache Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge <math>2a</math> und zwei [[Reißbrettstift]]e (oder Nägel, Stifte,&nbsp;…), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s.&nbsp;Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.
[[Datei:Elliko-g.svg|hochkant=1.2|mini|links|Ellipse: Gärtnerkonstruktion]]
{{Absatz}}
Eine Variation der Gärtnerkonstruktion zur Konstruktion [[Konfokale Kegelschnitte#Satz von Graves: Fadenkonstruktion konfokaler Ellipsen|konfokaler Ellipsen]] geht auf den irischen Bischof [[Charles Graves]] zurück.

=== Antiparallelogramm ===
{{Hauptartikel|Antiparallelogramm}}
[[Datei:Antiparallelogram1 Ellipses.gif|mini|Konstruktion über das Antiparallelogramm]]
Beim Abrollen eines Antiparallelogramms zeichnet der [[Schnittpunkt]] der beiden langen Stäbe eine Ellipse (blau im Bild). Die Enden des kurzen statischen Stabs definieren die Brennpunkte der Ellipse. Durch die [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrische]] Geometrie ergibt sich theoretisch auch um den kurzen umlaufende Stab eine Ellipse (im Bild grün). Diese Konstruktionsvariante ist mit der Gärtnerkonstruktion verwandt. Betrachtet man nur den Anteil innerhalb der statischen Ellipse und ersetzt die beiden inneren Teilstücke der Stäbe mit einer Schur, ergibt sich die äquivalente Gärtnerkonstruktion. Die Mechanik des bewegten Antiparallelogramms ist ein [[Koppelgetriebe]]. Die innere Ellipse entspricht der [[Rastpolbahn]], die äußere Ellipse ist die [[Gangpolbahn]] des umlaufenden kurzen Stabs.

=== Ellipsenzirkel des Frans van Schooten ===
[[Datei:Frans van Schooten - Ellipsenzirkel.png|hochkant=1.2|mini|Ellipsenzirkel des Frans van Schooten<br /> [//commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Ellipsenzirkel-van_Schooten-1.gif (▶ Animation ansehen)]]]
Im Jahr [[1657]] veröffentlichte [[Frans van Schooten]] in seinem Werk ''EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE''<ref>Frans van Schooten: ''EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE.'' Lugdunum Batavorum [= [[Leiden (Stadt)|Leiden]]]: Johannes Elsevirius, 1656–1657, Inhaltsübersicht, S.&nbsp;7 [https://books.google.de/books?id=bctZAAAAcAAJ&pg=PA7 Online-Kopie (Google)].</ref> in ''LIBER IV''<ref>Frans van Schooten: ''EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM, LIBER IV. SIVE DE ORGANICA CONICARUM SECTIONUM IN PLANO DESCRIPTIONE,&nbsp;…'' Titelseite, S.&nbsp;293 [https://books.google.de/books?id=bctZAAAAcAAJ&pg=PA293 Online-Kopie (Google)].</ref> die Methode ''Gärtnerkonstruktion''<ref>Frans van Schooten: ''EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBER IV&nbsp;…'' Gärtnerkonstruktion, S.&nbsp;325–326 [https://books.google.de/books?id=bctZAAAAcAAJ&pg=PA326 Online-Kopie (Google)].</ref> und ein paar Seiten weiter einen Ellipsenzirkel.<ref>Frans van Schooten: ''EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBER IV&nbsp;…'' Ellipsenzirkel, S.&nbsp;341–343 [https://books.google.de/books?id=bctZAAAAcAAJ&pg=PA342 Online-Kopie (Google)].</ref> Basis für den Ellipsenzirkel ist die ''Gärtnerkonstruktion.''

* Anzumerken ist: In der nebenstehenden originären Darstellung ''Ellipsenzirkel des Frans van Schooten'' kann die Ellipsenlinie nicht durch den Scheitelpunkt <math>K</math> gezogen werden, sondern nur, z.&nbsp;B. im [[Uhrzeigersinn]], bis die Führungsschiene <math>|GH|</math> an der Zirkelnadel im Punkt <math>I</math> der Raute anliegt. Damit der Ellipsenzirkel eine komplette Ellipsenlinie zeichnen kann (auch durch die Scheitelpunkte <math>L</math> und <math>K</math>), ist es erforderlich, dass zumindest einmal die Einstechposition der Zirkelnadeln <math>H</math> und <math>I</math> in den Brennpunkten der Ellipse getauscht wird.

[[Datei:01-Ellipsenzirkel-van Schooten-3.svg|hochkant=1.4|mini|Prinzipskizze, Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.<br />Die Kurve ist eine exakte Ellipse.]]
Die Hauptelemente des rautenförmigen Ellipsenzirkels sind die fünf gleich langen Stäbe mit ihren Gelenkpunkt-Abständen <math>|OI|</math>, <math>|IP|</math>, <math>|PG|</math>, <math>|GO|</math> und <math>|GH|</math> als Führungsschiene sowie der deutlich längere Diagonalstab ab <math>O</math> durch <math>P</math> mit dem Klemmelement <math>Q</math> für den Spielausgleich. Die Führungsschiene mit dem Gelenkpunkt-Abstand <math>|GH|</math> und der Diagonalstab überkreuzen sich im Punkt <math>E</math> und sind über Führungsnuten mithilfe eines sogenannten [[Gleitstein]]s dreh- und schiebbar verbunden. In diesem Gleitstein ist auch der Zeichenstift und ggf. der Handgriff montiert. Der zweite Gleitstein befindet sich im Gelenkpunkt <math>P</math>. In den Gelenkpunkten <math>H</math> und <math>I</math> des Ellipsenzirkels sind die [[Zirkel]]nadeln befestigt.

Die Länge z.&nbsp;B. des Stabes <math>|IO|</math> ist gleich der Länge der Hauptachse <math>|KL|</math>. Der Abstand der Gelenkpunkte <math>H</math> und <math>I</math> bestimmt die Länge der Nebenachse. Je kleiner dieser Abstand ist, umso mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis.

Betrachtet man eine Hälfte der Raute <math>OIPG</math>, d.&nbsp;h. das gleichschenklige Dreieck <math>IGO</math>, so ist der Diagonalstab ab <math>O</math> durch <math>P</math> als [[Mittelsenkrechte]] <math>M_S</math> des Gelenkpunkt-Abstandes <math>|GI|</math> erkennbar, die den Stab mit Gelenkpunkt-Abstand <math>|GH|</math> in <math>E</math> schneidet. Dadurch entsteht das zweite gleichschenklige Dreieck <math>EIG</math> mit den Schenkeln <math>|EG|</math> und <math>|EI|</math>. Wird nun der Ellipsenzirkel von Hand bewegt, durchläuft der Punkt <math>G</math> den Kreis <math>k_1</math> um den Punkt <math>H</math> mit dem Radius <math>|GH|</math> (gleich <math>|KL|</math>), dabei wirkt der Diagonalstab mit seinem Gelenkpunkt-Abstand <math>|OP|</math> konstant als Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke <math>IGO</math> und <math>EIG</math>. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Ellipsenzirkels gilt

:<math>|GH| = |EH| + |EG| = |EH| + |EI|.</math>

Werden in die weiter oben beschriebene ''Definition einer Ellipse als geometrischer Ort'' die Bezeichnungen der betreffenden Punkte, u.&nbsp;a. die Brennpunkte <math>H</math> und <math>I</math>, aus der Darstellung des Ellipsenzirkels eingesetzt, ergibt sich

:<math>Def_E = \{E \mid |EH| + |EI| = |GH|\}.</math>

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem rautenförmigen Ellipsenzirkel gezogenen Kurven sind Ellipsen.

Um eine Ellipse zu zeichnen, sticht man zuerst zur Lagefixierung des Ellipsenzirkels die Zirkelnadeln der Gelenkpunkte <math>H</math> und <math>I</math> in die Brennpunkte der Ellipse und zieht anschließend mithilfe des Handgriffs oder ggf. nur mit dem Zeichenstift die Ellipsenlinie.

=== Parameterdarstellung mit Sinus und Kosinus ===
Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktion]]. Wegen <math>\cos^2 t +\sin^2 t =1</math> beschreibt
:<math>(a \cos t, b \sin t),\ 0\le t<2\pi</math>
die Ellipse <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}= 1\ .</math>
Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die folgenden Ellipsenkonstruktionen leicht verstehen.

=== Punktkonstruktion nach de La Hire ===
Die nach [[Philippe de La Hire]] (1640–1718) benannte Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise,<ref>[[Karl Strubecker]]: ''Vorlesungen über darstellende Geometrie''. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1967, S. 25–26 ([http://people.math.harvard.edu/~knill/history/darstellend/Strubecker.pdf#page=37&zoom=110,-142,564 Online-Kopie])</ref> das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen <math>a,\; b</math> als Radien. Der Parameter <math>t</math> wird hier als der Steigungswinkel eines von <math>M</math> ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten <math>(a \cos t, b \sin t)</math>, also ein Ellipsenpunkt, konstruiert. Dieses Konstruktionsverfahren war allerdings auch schon in der Spätantike bekannt und ging damals auf [[Proklos Diadochos]] (412–485) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[Max Steck]] |Titel=Proklus Diadochus, Euklid – Kommentar |Herausgeber=Max Steck |Verlag=[[Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina]] |Ort=Halle an der Saale |Datum=1945 |Seiten=240}}
<br />zitiert nach<br />{{Literatur |Autor=Dietmar Herrmann |Titel=Die antike Mathematik |TitelErg=Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2010 |ISBN=978-3-642-37611-5 |DOI=10.1007/978-3-642-37612-2_25 |Seiten=388 f. |Online=https://books.google.de/books?id=CDgiBAAAQBAJ&pg=PA388}}</ref>
<gallery widths="250" heights="250" class="float-left">
Elliko-sk.svg|Ellipsenkonstruktion nach Diadochos
Parametric ellipse.gif|Animation der Methode von Diadochos
</gallery>
{{Absatz}}

=== Papierstreifenmethoden ===
Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters <math>t</math> der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.

'''1. Methode'''

Die erste Methode verwendet einen Papierstreifen der Länge <math>a+b</math>. Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit <math>P</math> markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt <math>P</math> die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung <math>(a\cos t,\;b\sin t)</math> und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der <math>x</math>-Achse (s.&nbsp;Bild).

Eine weitere technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares [[Cardanische Kreise|cardanischer Kreise]] erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius <math>a+b</math>.
<gallery widths="250" heights="250" class="float-left">
Ellipse-papsm.svg|Ellipse: 1. Papierstreifenmethode
Tusi couple vs Paper strip plus Ellipses horizontal.gif|Ellipsen (rot, cyan) mit cardanischen Kreisen
</gallery>
{{Absatz}}

Eine ''Variation der 1. Papierstreifenmethode''<ref>J. van Mannen: ''Seventeenth century instruments for drawing conic sections.'' In: ''The Mathematical Gazette.'' Vol.&nbsp;76, 1992, S.&nbsp;222–230.</ref> geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt <math>N</math> des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>\tfrac{a+b}{2}</math> bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt <math>N</math>) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der <math>y</math>-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt <math>M</math>) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt <math>P</math> bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur ''einen'' technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1.&nbsp;Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.<br />
Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der ''Nebenachse'' gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

<gallery widths="300" heights="200" class="float-left">
Ellipse-papsm-1a.svg|Abgeknickter Papierstreifen
Ellipses with SliderCrank inner Ellipses.gif|Animation mit abgeknicktem Papierstreifen
</gallery>
{{Absatz}}

[[Datei:Elliko-pap2.svg|250px|mini|Ellipse: 2. Papierstreifenmethode]]
'''2. Methode:'''

Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem Papierstreifen der Länge <math>a</math> aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen <math>b</math> und <math>a-b</math> zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge <math>a-b</math> besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende <math>P</math> beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt <math>P</math> kann durch die Parameterdarstellung <math>(a\cos t,\;b\sin t)</math> beschrieben werden. Dabei ist <math>t</math> der Steigungswinkel des Papierstreifens.

Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. [[#Weblinks|Weblink]] Ellipsenzirkel).

''Bemerkung:'' Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur ''ein'' Gleitschuh nötig.
<gallery widths="200" heights="150" class="float-left">
Archimedes Trammel.gif|Animation der 2. Papierstreifenmethode
L-Ellipsenzirkel.png|Ellipsenzirkel von [[Benjamin Bramer]]
Ellipses with SliderCrank Ellipses at Slider Side.gif|Abgeknickter Papierstreifen
</gallery>
{{Absatz}}
[[Datei:Ellipse-skm.svg|250px|mini|Approximation einer Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise]]

=== Approximation mit Scheitelkrümmungskreisen ===
Aus der Formelsammlung (s. unten) ergibt sich:
:Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel <math>S_1,\; S_2</math> ist <math>\tfrac{b^2}{a}\ ,</math>
:der Krümmungsradius für die Nebenscheitel <math>S_3,\; S_4</math> ist <math>\tfrac{a^2}{b}\ .</math>
Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte <math>M_1=(a-\tfrac{b^2}{a},0),\; M_3=(0,b-\tfrac{a^2}{b})</math> des Scheitels <math>S_1</math> und des Nebenscheitels <math>S_3</math> zeichnerisch zu bestimmen:
# Markiere den Hilfspunkt <math>H=(a,b)</math> und zeichne die Gerade <math>S_1S_3</math>.
# Zeichne die Gerade durch <math>H</math>, die senkrecht zur Geraden <math>S_1S_3</math> verläuft.
# Die Schnittpunkte <math>M_1,\; M_3</math> dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).

Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines [[Kurvenlineal]]s lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.

=== Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode) ===
[[Datei:Ellipse-steiner.svg|mini|Ellipse: Steiner-Erzeugung]]
[[Datei:Ellipse construction - parallelogram method.gif|mini|Steiner-Erzeugung als Animation]]
Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der [[Satz von Steiner (Geometrie)|Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts]] (nach dem Schweizer Mathematiker [[Jakob Steiner]]):
:Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten <math>S_1,\; S_2</math> (alle Geraden durch den Punkt <math>S_1</math> bzw. <math>S_2</math>) eine ''projektive,'' aber nicht perspektive Abbildung <math>\pi</math> des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.<ref name="hartmann">Erich Hartmann: [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie.''] (PDF; 180&nbsp;kB). Kurzskript, TU Darmstadt, S.&nbsp;12–16.</ref><ref name="books-jCgPAAAAQAAJ-">''Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie.'' B. G. Teubner, Leipzig 1867. 2.&nbsp;Teil, S.&nbsp;96. ({{Google Buch|BuchID=jCgPAAAAQAAJ|Seite=PA96}}).</ref>

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln <math>S_1,\; S_2</math> aus. Sei nun <math>P=(0,b)</math> der obere Nebenscheitel der Ellipse und <math>A=(-a,2b), B=(a,2b)</math>. Dann ist <math>P</math> der Mittelpunkt des Rechtecks <math>S_1,\; S_2,\; B,\; A</math>. Wir unterteilen die Rechteckseite <math>\overline{AB}</math> in <math>n</math> gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen <math>AS_2</math> auf die Strecke <math>\overline{S_2B}</math> (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in <math>S_1</math> und <math>S_2</math>. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden <math>S_1B_i</math> und <math>S_2A_i</math> liegen dann auf der durch die Vorgaben (3&nbsp;Punkte, 2&nbsp;Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte <math>C_1, \dotsc</math> lassen sich Punkte auf dem 2.&nbsp;Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

''Bemerkung:''<br >
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für <math>P</math> einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name ''Parallelogramm-Methode.''<br />
b) Den ''Beweis'' dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Auch für [[Parabel (Mathematik)#Steiner-Erzeugung einer Parabel und der zu ihr dualen Parabel|Parabel]] und [[Hyperbel (Mathematik)#Steiner-Erzeugung einer Hyperbel|Hyperbel]] gibt es Steiner-Erzeugungen.

=== Ellipsen in der Computergrafik ===
Besonders in der [[Computergrafik]] lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders [[Skalierung (Computergrafik)|skaliert]] wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch [[Scherung (Geometrie)|Scherung]] erhalten, s.&nbsp;a. [[Bresenham-Algorithmus]]. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.

== Beispiele ==
* Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines [[Zylinder (Geometrie)|Kreiszylinders]]), so erscheint dieser Kreis als Ellipse, präziser: Eine [[Parallelprojektion]] bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.
* In der [[Astronomie]] kommen Ellipsen häufig als Bahnen von [[Himmelskörper]]n vor. Nach dem ersten [[Keplersche Gesetze|Keplerschen Gesetz]] bewegt sich jeder [[Planet]] auf einer Ellipse um die [[Sonne]], wobei diese in einem der beiden Brennpunkte ruht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) [[Komet]]en, [[Mond (Trabant)|Planetenmonden]] oder [[Doppelstern]]en. Allgemein ergeben sich bei jedem [[Zweikörperproblem]] der [[Gravitation]]skraft je nach [[Energie]] Ellipsen-, Parabel- oder Hyperbelbahnen.
<gallery widths="150" heights="150" class="float-right">
Steiner-inellipse-1.svg|Steiner-Inellipse (blau) mit Steiner-Ellipse (rot)
File:Inellipse-1.svg|Beispiel einer Inellipse
</gallery>
* Für jeden [[Dimension (Mathematik)|zwei- oder dreidimensionalen]] [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillator]] erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So [[Schwingung|schwingt]] etwa der Pendelkörper eines [[Sphärisches Pendel|Fadenpendels]] näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung des Pendelfadens nicht nur in einer Ebene erfolgt.
* In der [[Dreiecksgeometrie]] gibt es [[Steiner-Ellipse]]n, [[Inellipse]]n ([[Steiner-Inellipse]], [[Mandart-Ellipse]]).

== Formelsammlung (Ellipsengleichungen) ==
=== Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten) ===
Mittelpunkt <math>(0|0)</math>,

:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.</math>

Aufgelöst nach <math>y^2</math>:

:<math>y^{2}=b^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{(a^{2}-x^{2})(a^{2}-e^{2})}{a^{2}}=(a^{2}-x^{2})(1-\varepsilon^{2})</math>

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt <math>(x_0|y_0)</math>, Hauptachse parallel zur <math>x</math>-Achse:

:<math>\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.</math>

=== Ellipsengleichung (Parameterform) ===
Mittelpunkt <math>(0|0)</math>, Hauptachse als <math>x</math>-Achse:

:<math>
\begin{pmatrix}
  x\\
  y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  a\cos t\\
  b\sin t
\end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad 0\le t< 2\pi.</math>

Mittelpunkt <math>(x_0|y_0)</math>, Hauptachse parallel zur <math>x</math>-Achse:

:<math>
\begin{pmatrix}
  x\\
  y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  x_0+a\cos t\\
  y_0+b\sin t
\end{pmatrix}
 \quad \text{mit} \quad 0\le t< 2\pi.</math>

Mittelpunkt <math>(x_0|y_0)</math>, Hauptachse um <math>\alpha</math> bezüglich <math>x</math>-Achse rotiert:

:<math>
\begin{pmatrix}
  x\\
  y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  x_0 + a\cos t\,\cos\alpha - b\sin t\,\sin\alpha\\
  y_0 + a\cos t\,\sin\alpha + b\sin t\,\cos\alpha
\end{pmatrix}
 \quad \text{mit} \quad 0\le t< 2\pi.</math>

Dabei bezeichnet <math>t</math> den [[Parameterdarstellung|Parameter]] dieser Darstellung. Dieser entspricht ''nicht'' dem Polarwinkel <math>\varphi</math> zwischen der <math>x</math>-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt, sondern z.&nbsp;B. dem Polarwinkel <math>t</math> zwischen der <math>x</math>-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den Punkt mit gleicher <math>y</math>-Koordinate wie der Ellipsenpunkt jedoch auf dem Kreis mit Radius <math>b</math> führt (vgl. Konstruktion nach de la Hire). In der Astronomie heißt dieser Parameter bei [[Keplerellipse]]n die [[exzentrische Anomalie]], bei Meridianellipsen in der [[Geodäsie]] heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. [[Referenzellipsoid]].

Für nicht rotierte Ellipsen, also <math>\alpha=0</math>, hängt der Polarwinkel <math>\varphi</math>, der durch <math>\tan\varphi=y/x</math> definiert ist, mit dem Parameter <math>t</math> zusammen über:

:<math>\tan\varphi=\frac{b}{a}\tan t=\sqrt{1-\varepsilon^{2}}\,\tan t</math>

Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters <math>t</math>: Streckt man die <math>y</math>-Koordinate eines Ellipsenpunktes <math>P=(x,y)</math> um den Faktor <math>a/b</math>, so liegt dieser neue Punkt <math>P'=(x,y')</math> auf einem Kreis mit Radius <math>a</math> und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter <math>t</math> ist nun der Winkel zwischen der <math>x</math>-Achse und der Verbindungslinie <math>\overline{MP'}</math>:

:<math>y'=\frac{a}{b}y=x\frac{a}{b}\tan\varphi=x\tan t=a\sin t\quad\Longrightarrow\quad\begin{pmatrix}x\\ y' \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}\cos t\\ \sin t \end{pmatrix}</math>

=== Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts) ===
Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

:<math>r(\varphi)=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}\varphi+b^{2}\cos^{2}\varphi}}=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}\cos^{2}\varphi}} \in[b,a]\quad\text{mit} \quad 0\le\varphi<2\pi</math>

[[Datei:Ellipse Angles Relation.svg|mini|Exzentrische Anomalie <math>t</math> und wahre Anomalie <math>\varphi {\mathrm{R}}</math> bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie <math>\varphi {\mathrm{L}}</math> bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels <math>\varphi</math> für verschiedene numerische Exzentrizitäten <math>\varepsilon</math>]]

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei <math>(0|0)</math> und ihre Hauptachse entlang der <math>x</math>-Achse liegt:

:<math>\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=
\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}\cos^{2}\varphi}}
\begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi \end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi< 2\pi</math>

;Herleitung
Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten <math>(x/a)^2+(y/b)^2=1</math> und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten <math>x=r\cos\varphi</math> und <math>y=r\sin\varphi</math> folgt:

:<math>\frac{r^{2}\cos^{2}\varphi}{a^{2}}+\frac{r^{2}\sin^{2}\varphi}{b^{2}}=1\quad\Longrightarrow\quad r^{2}\left(b^{2}\cos^{2}\varphi+a^{2}\sin^{2}\varphi\right)=a^{2}b^{2}</math>

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

=== Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts) ===
Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter <math>p=b^2/a</math>):

:<math>r_{\mathrm{R}}(\varphi_{\mathrm{R}})=\frac{a^{2}-e^{2}}{a+e\cos\varphi_{\mathrm{R}}}=\frac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{R}}} \in[r_{\mathrm{peri}},r_{\mathrm{apo}}]
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm R}< 2\pi</math>

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

:<math>r_{\mathrm{L}}(\varphi_{\mathrm{L}})=\frac{a^{2}-e^{2}}{a-e\cos\varphi_{\mathrm{L}}}=\frac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{L}}} \in[r_{\mathrm{peri}},r_{\mathrm{apo}}]
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm L}< 2\pi</math>

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der [[Periapsisdistanz]] <math>r_{\mathrm{peri}}</math> bis zur [[Apoapsisdistanz]] <math>r_{\mathrm{apo}}</math>, die folgende Werte haben:

:<math>r_{\mathrm{peri}}=\frac{p}{1+\varepsilon}=a(1-\varepsilon)\ ,\qquad r_{\mathrm{apo}}=\frac{p}{1-\varepsilon}=a(1+\varepsilon)</math>

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel <math>\varphi_{\mathrm R}</math> bzw. <math>\varphi_{\mathrm L}</math> der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei <math>(e|0)</math>, der linke Brennpunkt bei <math>(-e|0)</math> liegt:

:<math>\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}e\\ 0 \end{pmatrix} +
\frac p{1 + \varepsilon \cos \varphi_{\mathrm R}}
\begin{pmatrix}\cos\varphi_{\mathrm R}\\ \sin\varphi_{\mathrm R} \end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm R}< 2\pi</math>

:<math>\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-e\\ 0 \end{pmatrix} +
\frac p{1 - \varepsilon \cos \varphi_{\mathrm L}}
\begin{pmatrix}\cos\varphi_{\mathrm L}\\ \sin\varphi_{\mathrm L} \end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm L}< 2\pi</math>

Der Winkel <math>\varphi_{\mathrm{R}}</math> bzw. <math>\varphi_{\mathrm{L}}</math>, je nachdem, welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die [[wahre Anomalie]].

;Herleitung
Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten <math>F_{\mathrm L}</math>, <math>F_{\mathrm R}</math> und einem beliebigen Punkt <math>P</math> auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: <math>\overline{F_{\mathrm L} F_{\mathrm R}}=2e</math> sowie <math>\overline{F_{\mathrm L} P}=r_{\mathrm L}</math> und nach der Definition der Ellipse <math>\overline{F_{\mathrm R} P}=2a-r_{\mathrm L}</math>. Der Winkel bei <math>F_{\mathrm L}</math> sei <math>\varphi_{\mathrm L}=\angle F_{\mathrm R}F_{\mathrm L}P</math>. Mit dem [[Kosinussatz]] gilt nun:

:<math>(2a-r_{\mathrm{L}})^{2}=(2e)^{2}+r_{\mathrm{L}}^{2}-2(2e)r_{\mathrm{L}}\cos\varphi_{\mathrm{L}}\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{L}}(a-\underbrace{e}_{a\varepsilon}\cos\varphi_{\mathrm{L}})=\underbrace{a^{2}-e^{2}}_{pa}</math>

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten <math>\overline{F_{\mathrm L} F_{\mathrm R}}=2e</math> und <math>\overline{F_{\mathrm R} P}=r_{\mathrm R}</math> und <math>\overline{F_{\mathrm L} P}=2a-r_{\mathrm R}</math>. Der Winkel bei <math>F_{\mathrm R}</math> sei <math>\pi-\varphi_{\mathrm R}=\angle PF_{\mathrm R}F_{\mathrm L}</math>, da <math>\varphi_{\mathrm R}= \angle (S_{\mathrm R},F_{\mathrm R},P)</math> definiert ist, wobei <math>S_{\mathrm R}</math> den rechten Hauptscheitel markiert.

:<math>(2a-r_{\mathrm{R}})^{2}=(2e)^{2}+r_{\mathrm{R}}^{2}-2(2e)r_{\mathrm{R}}\underbrace{\cos(\pi-\varphi_{\mathrm{R}})}_{-\cos\varphi_{\mathrm{R}}}\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{R}}(a+\underbrace{e}_{a\varepsilon}\cos\varphi_{\mathrm{R}})=\underbrace{a^{2}-e^{2}}_{pa}</math>

;Alternative Herleitung
Durch Gleichsetzen der zweier Darstellungen von <math>r_{\mathrm{L}}^{2}-r_{\mathrm{R}}^{2}</math> erhält man:

:<math>\left.\begin{array}{l}
r_{\mathrm{L}}^{2}-r_{\mathrm{R}}^{2} =\left[y^{2}+(x+e)^{2}\right]-\left[y^{2}+(x-e)^{2}\right]=4ex=4a\varepsilon x\\
r_{\mathrm{L}}^{2}-r_{\mathrm{R}}^{2} =(r_{\mathrm{L}}+r_{\mathrm{R}})(r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}})=2a(r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}})
\end{array} \right\}
\implies r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}}=2\varepsilon x</math>

Dies entspricht einerseits mit <math>r_{\mathrm{R}}=2a-r_{\mathrm{L}}</math> und <math>x=r_{\mathrm{L}}\cos\varphi_{\mathrm{L}}-e</math>

:<math>2r_{\mathrm{L}}-2a=2\varepsilon(r_{\mathrm{L}}\cos\varphi_{\mathrm{L}}-e)\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{L}}(1-\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{L}})=a-\varepsilon e\equiv p</math>

und andererseits mit <math>r_{\mathrm{L}}=2a-r_{\mathrm{R}}</math> und <math>x=r_{\mathrm{R}}\cos\varphi_{\mathrm{R}}+e</math>:

:<math>2a-2r_{\mathrm{R}}=2\varepsilon(r_{\mathrm{R}}\cos\varphi_{\mathrm{R}}+e)\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{R}}(1+\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{R}})=a-\varepsilon e\equiv p</math>

== Formelsammlung (Kurveneigenschaften) ==
=== Tangentengleichung (kartesische Koordinaten) ===
Mittelpunkt <math>(0|0)</math>, Hauptachse als <math>x</math>-Achse, Berührpunkt <math>(x_B|y_B)</math>:

:<math>\frac{x_{B}x}{a^{2}}+\frac{y_{B}y}{b^{2}}=1\quad\iff\quad\frac{x_{B}(x-x_{B})}{a^{2}}+\frac{y_{B}(y-y_{B})}{b^{2}}=0</math>

Mittelpunkt <math>(x_0|y_0)</math> Hauptachse parallel zur <math>x</math>-Achse, Berührpunkt <math>(x_B|y_B)</math>:

:<math>\frac{(x_B - x_0) (x - x_0)}{a^2} + \frac{(y_B - y_0) (y - y_0)}{b^2} = 1</math>

=== Tangentengleichung (Parameterform) ===
Ein (unnormierter) Tangentenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

:<math>\vec{T}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a\sin t\\ b\cos t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-ay/b\\ bx/a \end{pmatrix}</math>

Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei <math>(0|0)</math>, Hauptachse als <math>x</math>-Achse und Berührpunkt bei <math>(x_B|y_B)</math>:

:<math>\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-ay_{B}/b\\ bx_{B}/a \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad\mu\in\mathbb{R}</math>

=== Beziehung zwischen Polar- und Normalenwinkel ===
[[Datei:Tangente an ellipse winkel.svg|mini|Die Winkel der Ellipsentangente]]

Zwischen Polarwinkel <math>\varphi</math> und Normalenwinkel <math>\beta</math> und Ellipsenparameter <math>t</math> besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)

:<math>\tan\varphi=\frac{b}{a}\tan t=\frac{b^2}{a^2}\tan\beta=(1-\varepsilon^{2})\tan\beta</math>

;Herleitung
Der Zusammenhang des Polarwinkels <math>\varphi</math> und dem Steigungswinkel der Normalen <math>\beta</math> (siehe Grafik rechts) lässt sich z.&nbsp;B. so finden:

Auflösen der Tangentengleichung nach <math>y</math>

:<math>y=\frac{b^{2}}{y_{B}}-\frac{b^{2}x_{B}}{a^{2}y_{B}}x</math>

ergibt die Tangentensteigung <math>\tan(\alpha)=-\tan(\pi-\alpha)=\Delta y/\Delta x</math> als Koeffizient von <math>x</math> zu

:<math>\tan\alpha=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{B}}{y_{B}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{1}{\tan\varphi}.</math>

Mit <math>\tan\alpha=\tan(\beta+\pi/2)=-1/\tan\beta</math> erhält man den gesuchten Zusammenhang zwischen <math>\beta</math> und <math>\varphi</math>.

=== Normalengleichung (kartesische Koordinaten) ===
Mittelpunkt <math>(0|0)</math>, Hauptachse als <math>x</math>-Achse, Berührpunkt <math>(x_B|y_B)</math>:

:<math> \left( 1-{\frac {y}{y_B}} \right) \frac {b^2}{a^2}+{\frac {x}{x_B}}=1</math>

oder auch

:<math> b^2 \left( \frac {y}{y_B} - 1 \right) = a^2 \left( \frac {x}{x_B} - 1 \right)</math>

=== Normalengleichung (Parameterform) ===
Ein (unnormierter) Normalenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

:<math>\vec{N}=\begin{pmatrix}b\cos t\\ a\sin t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}bx/a\\ ay/b \end{pmatrix}</math>

Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei <math>(0|0)</math>, Hauptachse als <math>x</math>-Achse und Berührpunkt bei <math>(x_B|y_B)</math>:

:<math>\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}bx_{B}/a\\ ay_{B}/b \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad\mu\in\mathbb{R}</math>

=== Krümmungsradien und -mittelpunkte ===
Krümmungsradius im Punkt <math>(x_p|y_p)</math>:
:<math>r = a^2 b^2 \left(\frac{x_{p}^{2}}{a^4} + \frac{y_{p}^{2}}{b^4}\right)^{3/2} = \frac{1}{a^4 b^4} \sqrt{\left(a^4 y_{p}^{2} + b^4 x_{p}^{2}\right)^3}</math>

Mittelpunkt des Krümmungskreises, Krümmungsmittelpunkt <math>M(\xi|\eta)</math>:
:<math>\xi = \frac{e^2 x_{p}^{3}}{a^4} \qquad \eta = -\frac{e^2 y_{p}^{3}}{b^4} \qquad \vert\, e^2 = a^2 \varepsilon^2 = a^2 - b^2</math>

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Hauptscheitel <math>(\pm a|0)</math>:
:<math>r_\mathrm{H} = p = \frac{b^2}{a} \qquad M_\mathrm{H}\left(\xi = \pm\frac{e^2}{a}\,\bigg|\,\eta = 0\right)</math>

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Nebenscheitel <math>(0|\pm b)</math>:
:<math>r_\mathrm{N} = \frac{a^2}{b} \qquad M_\mathrm{N}\left(\xi = 0\,\bigg|\,\eta = \pm\frac{e^2}{b}\right)</math>

== Formelsammlung (Flächeninhalt und Umfang) ==
=== Flächeninhalt ===
Mit den Halbachsen <math>a</math> und <math>b</math>:

:<math>A = \pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}</math>

Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung

:<math>\alpha x^2+ \beta x y + \gamma y^2 + 1 = 0</math>

gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt

:<math>A=\frac{2\pi}{\sqrt{ 4 \alpha \gamma - \beta^2 }}.</math>

;Ellipsensektor
Für eine Ellipse mit den Halbachsen <math>a</math> und <math>b</math> und einen Sektor, der mit der großen Halbachse den Winkel <math>\varphi \in \left]0, \frac{\pi}{2} \right[</math> einschließt, gilt:
:<math>A_{\mathrm{Sektor}}= \frac{ab}{2} \arctan \left(\frac{a}{b} \tan(\varphi) \right)</math>

Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter <math>t</math> aus der Parameterdarstellung <math>(x,y) = (a \cos t, b \sin t)</math>, so erhält man die Formel

:<math>A_{\mathrm{Sektor}} = \frac{a b}{2} t.</math>

=== Umfang ===
==== Formel ====
Der Umfang <math>U</math> einer Ellipse mit großer Halbachse <math>a</math> und kleiner Halbachse <math>b</math> berechnet sich zu
:<math>U = 4a\cdot E(\varepsilon)</math>,

wobei <math>E(k)</math> für das vollständige [[Elliptisches Integral|elliptische Integral]] zweiter Art steht. Die [[Exzentrizität (Mathematik)|numerische Exzentrizität]] <math>\varepsilon</math> berechnet sich bei Ellipsen als

:<math>\varepsilon = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.
[[Datei:Ellipsenumfang.svg|mini|Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs <math>U = k \cdot a</math> mit <math>k = 4 E(\varepsilon)</math>]]

Man beachte, dass bei der numerischen Berechnung elliptischer Integrale mittels Funktionsbibliotheken verschiedene [[Elliptisches Integral#Definition der unvollständigen elliptischen Integrale|Parameterkonventionen]] Verwendung finden.

==== Herleitung ====
[[Datei:Ellipses same circumference.png|mini|Ellipsen mit gleichem Umfang]]
Der Umfang <math>U</math> einer Ellipse kann nicht exakt durch [[elementare Funktion]]en ausgedrückt werden. Er kann aber mithilfe eines Integrals dargestellt werden, das daher [[elliptisches Integral]] genannt wird.

Die Formel für die [[Bogenlänge]] <math>L</math> einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] <math>\mathcal C</math> lautet

:<math>L = \int\limits_{\mathcal C} |\gamma'(t)|\;\mathrm dt </math>.

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung <math>\;(a\cos t,b\sin t),\; 0\le t \;<2\pi,\;</math> ergibt sich unter Berücksichtigung der Symmetrie für den Umfang <math>U</math>
:<math>U=4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{a^2 \cdot \sin^2t + b^2 \cdot \cos^2 t}\; \mathrm dt</math>.
Ausklammern von <math>a^2</math>, Verwendung von <math>\; \sin^2t=1-\cos^2t\; </math> und <math>\;\varepsilon^2 = 1-\frac{b^2}{a^2}\;</math> führt zu

:<math>U = 4a \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 -\varepsilon^2\cdot \cos^2t}\;\mathrm dt\ .</math>

Durch die [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>\vartheta = \frac{\pi}{2} - t,\;\mathrm dt = -\mathrm d\vartheta</math> erhalten wir die folgende Form:<ref>Das Minuszeichen wird durch die Substitution der Integrationsgrenzen eliminiert.</ref>

:<math>E(\varepsilon) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \varepsilon^2\cdot \sin^2\vartheta}\;\mathrm d\vartheta </math>.

Das Integral <math>E(\varepsilon)</math> nennt man vollständiges [[elliptisches Integral]] zweiter Art.

Der Umfang <math>U</math> der Ellipse ist damit

:<math>U = 4a \cdot E(\varepsilon),\quad \varepsilon= \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.

Der Umfang <math>U</math> hängt also von der [[Numerische Exzentrizität|numerischen Exzentrizität]] <math>\varepsilon</math> und der großen Halbachse <math>a</math> ab. Mithilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität <math>\varepsilon</math> der Wert des Faktors <math>k = 4 E(\varepsilon)</math> für den Umfang <math>U = k \cdot a</math> abgelesen werden. <math>k</math> liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen <math>k = 4</math> (<math>\varepsilon = 1</math>, entartete Ellipse als Linie) und <math>k = 2\pi</math> (<math>\varepsilon = 0</math>, Ellipse wird zum Kreis).

Aus dieser Formel resultiert jene zusätzliche Formel<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html |titel=Elliptic Integral |sprache=en |abruf=2021-09-03}}</ref> für den Umfang, die sowohl für den Fall a > b als auch für den Fall a < b reell ist:

:<math>U = 4(a+b)E \left(\frac{a-b}{a+b} \right) - \frac{8ab}{a+b}K \left(\frac{a-b}{a+b} \right)</math>.
Das Integral K nennt man vollständiges elliptisches Integral erster Art.

==== Reihenentwicklung ====
:<math>\begin{align}
U &= 4a E(\varepsilon) =\\ &= 2 a \pi \left( 1 - \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{j=1}^i \frac{2j-1}{2j} \right)^2 \frac{\varepsilon^{2i}}{2i-1} \right) =\\
& = 2a \pi \left[1 - \left(\frac 12\right)^2 \varepsilon^2 - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{\varepsilon^4}3 - \ldots - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dotsm 2n}\right)^2 \frac{\varepsilon^{2n}}{2n-1} - \ldots \right]
\end{align}</math>
Die numerische Exzentrizität <math>\varepsilon</math> ist gleich dem elliptischen Modul vom vollständigen [[Elliptisches Integral|Elliptischen Integral]] zweiter Art!

Für <math>\varepsilon</math> nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z.&nbsp;B. nach dem [[Romberg-Verfahren]].

Eine Reihe, die schneller konvergiert, beruht auf der Gauß-Kummer-Reihe.<ref>Eine von der hier aufgeführten Formel abweichende Form (die natürlich die gleichen Werte erzeugt) ist auf [http://mathworld.wolfram.com/Gauss-KummerSeries.html math.wolfram.com] angeführt.</ref> Für eine Ellipse mit den Halbachsen <math>a</math> und <math>b</math> (mit <math>a>b</math>) wird der Landensche Tochtermodul von der numerischen Exzentrizität <math>\varepsilon</math>, also der Modul <math>\lambda := \tfrac{a-b}{a+b} = (1 - \sqrt{1 - \varepsilon^2})(1 + \sqrt{1 - \varepsilon^2})^{-1}</math> definiert. Dann ergibt sich:<ref>Gérard P. Michon: [http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#elliptic ''Perimeter of an Ellipse.''] Abschnitt ''Very Precise Fast Computations.'' Auf: ''numericana.com.'' Abgerufen am 26.&nbsp;Juli 2015.</ref>
:<math>\begin{align}
U &= \pi (a + b) \sum_{n = 0}^\infty \binom{\frac{1}{2}}{n}^2 \lambda^{2 n}\\
  &= \pi (a+b) \left( 1 + \sum_{n=0}^{\infty}
               \left( \frac{ \binom{2n}{n} }{ (n+1) 2^{2n+1} }\right)^2\ \lambda^{2n+2}\right)\\
  &= \pi (a+b) \left( 1 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{\lambda^4}{64} + \frac{\lambda^6}{256}
               \ + \frac{25\lambda^8}{16\,384} + \dotsb +
               \ \left(\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1) }
               { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \dotsb (2n+2) }\right)^2 \lambda^{2n+2}
               + \dotsb \right)
\end{align}</math>
<!-- weitere Summanden in der Klammer:                  + \frac{184\,041\lambda^{16}}{1\,073\,741\,824}
  + \frac{511\,225\lambda^{18}}{4\,294\,967\,296}       + \frac{5\,909\,761\lambda^{20}}{68\,719\,476\,736}
  + \frac{17\,631\,601\lambda^{22}}{274\,877\,906\,944} + \frac{863\,948\,449\lambda^{24}}{17\,592\,186\,044\,416} -->

==== Näherungen ====
===== Näherung mit Hilfe des [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittels]] der Halbachsen =====
:<math>U \approx \pi (a + b)</math>
:; Genauigkeit dieser Formel:
{| class="wikitable"
! Exz. ε !! q = b / a !! Fehler
|-
| = 0,000  ||   1,000  || 0 (Kreis: exakt)
|-
| < 0,051  || > 0,9987 || < 10<sup>−7</sup>
|-
| < 0,090  || > 0,996  || < 10<sup>−6</sup>
|-
| < 0,1582 || > 0,9874 || < 10<sup>−5</sup>
|-
| < 0,277  || > 0,961  || <  0,01 %
|-
| < 0,46   || > 0,885  || <  0,1 %
|-
| < 0,75   || > 0,66   || <  1 %
|-
| < 0,83   || > 0,55   || <  2 %
|-
| < 0,927  || > 0,37   || <  5 %
|-
| < 0,978  || > 0,21   || < 10 %
|-
| < 0,999  || > 0,044  || < 18,3 %
|-
| < 1,000  || > 0,000  || < 21,46 %
|}

===== Näherung mit Hilfe des [[Quadratisches Mittel|quadratischen Mittels]] der Halbachsen =====
:<math>U \approx 2 \pi {\sqrt {\frac{1}2 (a^2+b^2)}} = \pi {\sqrt {2 (a^2+b^2)}}</math>
:<math>U \approx 2 \pi {\sqrt {\frac{1}2 (a^2+ a^2(1-\varepsilon^2) )}} = 2 \pi a {\sqrt { 1 - \frac{\varepsilon^2}{2}}}</math>

:; Genauigkeit dieser Formel:
{| class="wikitable"
! Exz. ε !! q = b / a !! Fehler
|-
| = 0,000 || = 1,0000 || 0 (Kreis: exakt)
|-
| < 0,016 || > 0,9999 || < 10<sup>−9</sup>
|-
| < 0,026 || > 0,9997 || < 10<sup>−8</sup>
|-
| < 0,047 || > 0,9989 || < 10<sup>−7</sup>
|-
| < 0,084 || > 0,9965 || < 10<sup>−6</sup>
|-
| < 0,149 || > 0,9888 || < 10<sup>−5</sup>
|-
| < 0,262 || > 0,9651 || <  0,01 %
|-
| < 0,450 || > 0,8930 || <  0,1 %
|-
| < 0,720 || > 0,6937 || <  1 %
|-
| < 0,808 || > 0,5891 || <  2 %
|-
| < 0,914 || > 0,4037 || <  5 %
|-
| < 0,977 || > 0,2104 || < 10 %
|-
| < 1,000 || > 0,0000 || < 14,91 %
|}

===== Näherungsformel nach [[Srinivasa Ramanujan]] =====
:<math>U \approx \pi \left( (a+b) \, + \, \frac{3 (a-b)^2}{10(a+b)+\sqrt{a^2+14ab+b^2}} \right) = \pi (a+b) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right)</math> mit <math>\lambda := \frac{a-b}{a+b}</math>

Diese Näherung ist in einem weiten <math>\varepsilon</math>-Bereich von <math>0 \leq \varepsilon \leq 0{,}9</math> sehr genau und ergibt im ganzen Bereich stets einen etwas zu kleinen Wert, der monoton mit <math>\varepsilon</math> zunimmt.

Der relative Fehler beträgt:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Bereich
! rel. Fehler
|-
| 0,0000 ≤ ε ≤ 0,8820
| &lt; 10<sup>−9</sup>
|-
| 0,8820 &lt; ε ≤ 0,9242
| &lt; 10<sup>−8</sup>
|-
| 0,9242 &lt; ε ≤ 0,9577
| &lt; 10<sup>−7</sup>
|-
| 0,9577 &lt; ε ≤ 0,9812
| &lt; 10<sup>−6</sup>
|-
| 0,9812 &lt; ε ≤ 0,9944
| &lt; 10<sup>−5</sup>
|-
| 0,9944 &lt; ε ≤ 0,9995
| &lt; 10<sup>−4</sup>
|-
| 0,9995 &lt; ε ≤ 1,0000
| &lt; 0,000403
|}
Für <math>\varepsilon=\lambda=1</math> erhält man statt 4 den nur geringfügig zu kleinen Wert <math>\tfrac {14}{11} \pi = 3,99839\dots</math>

{{Siehe auch|Meridianbogen}}

== Schriftzeichen ==
{{Zeichen|[[Datei:Ellipses-Symbola.svg|120px]]}}

[[Unicode]] enthält im Block [[Unicodeblock Verschiedene Symbole und Pfeile|Verschiedene Symbole und Pfeile]] vier Ellipsensymbole, die als [[Grafikzeichen]] oder [[Schmuckzeichen]] in beliebigem Text (auch [[Fließtext]]) verwendet werden können:

{| class="wikitable"
|-
! Unicode !! Zeichen !! Name !! [[LaTeX]]<ref name="LSym">{{LaTeX Symbol List|notiz=siehe Tabelle „<kbd>bbding</kbd> Geometric Shapes“}}</ref>
|-
| U+2B2C || &#x2B2C; || {{Kapitälchen|black horizontal ellipse}} (Vollflächige horizontale Ellipse) || <code>\EllipseSolid</code>
|-
| U+2B2D || &#x2B2D; || {{Kapitälchen|white horizontal ellipse}} (Hohle horizontale Ellipse) || <code>\Ellipse</code>
|-
| U+2B2E || &#x2B2E; || {{Kapitälchen|black vertical ellipse}} (Vollflächige vertikale Ellipse) || {{FN|Anm.|gruppe=latex}}
|-
| U+2B2F || &#x2B2F; || {{Kapitälchen|white vertical ellipse}} (Hohle vertikale Ellipse) || {{FN|Anm.|gruppe=latex}}
|}

{{FNZ|Anm.|gruppe=latex|<small>Durch Rotation der horizontalen Variante mit Hilfe des Paketes ''rotating,'' das bei den üblichen LaTeX-Distributionen vorinstalliert ist.</small>}}

LaTeX kennt außerdem noch eine hohle horizontale Ellipse mit Schatten rechts: <code>\EllipseShadow</code>.<ref name="LSym" />

== Siehe auch ==
* [[Steiner-Ellipse]]
* [[Konfokale Kegelschnitte]]
* [[Gabriel Lamé]] verallgemeinerte die Ellipse zur laméschen Kurve ([[Superellipse]]).
* [[Ellipsoid]]
* Der [[Rotationskörper]] mit einem elliptischen Querschnitt ist ein [[Rotationsellipsoid]].
* [[Homöoid]]
* [[Fokaloid]]
* [[Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne]]
* [[Mittlere Bewegung]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Ellipses|Ellipsen}}
* {{MathWorld|id=Ellipse|title=Ellipse}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/ellipse.htm mathematische-basteleien.de]

'''Berechnungen'''
* [http://www.mathematik-online.de/F57.htm#Ellipse Formeln zum ''Ellipsenumfang'' mit Beispielrechnung]
* [http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/ellipsenumfang/ Website zum Berechnen eines ''Ellipsenumfangs'']
* [http://krottbrand.bplaced.net/filemanager/javas/ellipse9.html Tangenten und Schnitt mit einer Geraden] ([[JavaScript]])
* [http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/ellipsenrechner.htm Ellipsenberechnung aus zwei Größen bzw. aus zwei, vier oder fünf Punkten; Tangenten, Normalen]

'''Konstruktion'''

Für alle folgenden Links wird ein [[Java Runtime Environment|Java]]-[[Plug-in]] benötigt.
* [http://www-hm.ma.tum.de/cinderella/Daten/Akrebi.html Webseite mit der Möglichkeit, Ellipsenkonstruktionen interaktiv auszuprobieren]
* [http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/ausstell/ellipsenzirkel/index.html Ellipsenzirkel]

== Literatur ==
* Achim Ilchmann: ''Die Ellipse im protestantischen Kirchenbau: Die Kirche „Zur Gotteshilfe“ in Waltershausen''. In: [[INSITU (Zeitschrift)|Insitu]] 2024/2, S. 241–247.
* Cornelie Leopold: ''Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung.'' Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S.&nbsp;55–66.
* Peter Proff: ''Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge.'' In: ''„Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems.'' Hrsg. von [[Gundolf Keil]], Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4194779-4}}

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]