Quelltext der Seite Boothby-Wang-Faserung

In der [[Kontaktgeometrie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist eine '''Boothby-Wang-Faserung''' eine spezielle [[Faserung]] einer [[Kontaktmannigfaltigkeit]]. Ein Beispiel ist die [[Hopf-Faserung]] <math>S^{2n-1}\to\Complex P^n</math>.

Der '''Satz von Boothby-Wang''' charakterisiert kompakte reguläre Kontaktmannigfaltigkeiten <math>(P,\alpha)</math>: diese sind genau die <math>S^1</math>-Bündel über symplektischen Mannigfaltigkeiten, deren symplektische Form eine integrale Kohomologieklasse bestimmt.

== Satz von Boothby-Wang ==

Sei <math>P</math> eine [[Kompakter Raum|kompakte]] Kontaktmannigfaltigkeit mit [[Kontaktform]] <math>\alpha</math>. Die Kontaktform heißt regulär, wenn es ein duales, d.&nbsp;h. die Gleichung <math>\alpha(X)=1</math> erfüllendes reguläres [[Vektorfeld]] gibt. (Ein Vektorfeld  heißt regulär, wenn jeder Punkt eine Umgebung hat, durch die jede Integralkurve des höchstens einmal durchläuft.)

Der [[Fluss eines Vektorfeldes|Fluss dieses Vektorfeldes]] definiert eine [[Äquivalenzrelation]] auf <math>P</math>. Sei <math>M=P/\sim</math> der [[Quotiententopologie|Quotientenraum]]. Der ''Satz von Boothby-Wang'' besagt dann, dass <math>\pi\colon P\to M</math> ein <math>S^1</math>-[[Prinzipalbündel]] mit [[Zusammenhangsform]] <math>\alpha</math> ist, eine sogenannte ''Boothby-Wang-Faserung''. Die [[Krümmungsform]] des Zusammenhangs ist eine [[symplektische Form]] <math>\omega</math> mit ganzzahligen Perioden auf <math>M</math>.

Es gibt in diesem Fall eine nullstellenfreie Funktion <math>\tau\colon P\to\R</math>, so dass das [[Reeb-Vektorfeld]] zu <math>\alpha^\prime:=\tau\alpha</math> die <math>S^1</math>-Wirkung erzeugt, und es gilt <math>d\alpha^\prime=\pi^*\omega</math>.

== Boothby-Wang-Konstruktion ==

Sei <math>(M,\omega)</math> eine [[symplektische Mannigfaltigkeit]], deren symplektische Form ganzzahlige Perioden hat, also <math>\left[\omega\right]\in H^2(M,\Z)</math>. Sei <math>P\to M</math> ein <math>S^1</math>-Prinzipalbündel mit [[Chern-Klasse]] <math>c_1(P)=\left[\omega\right]</math>. Dann ist <math>P</math> eine Kontaktmannigfaltigkeit, d.&nbsp;h. es gibt eine Kontaktform auf <math>P</math>. Das Bündel <math>S^1\to P\to M</math> ist dann eine ''Boothby-Wang-Faserung''.

== Literatur ==

* W. M. Boothby, H. C. Wang: ''On contact manifolds.'' Ann. Math. (2) 68, 721-734 (1958).

[[Kategorie:Kontaktgeometrie]]