Quelltext der Seite Bilipschitz-Äquivalenz

Der Begriff der '''Bilipschitz-Äquivalenz''' dient in der [[Mathematik]] dazu, die „grobe“ Geometrie [[Metrischer Raum|metrischer Räume]] zu untersuchen.

== Definition ==

Eine [[Bijektion]]
:<math>f\colon M_1\to M_2</math>
zwischen [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] <math>(M_1,d_1)</math> und <math>(M_2,d_2)</math> ist eine ''Bilipschitz-Äquivalenz'', wenn es eine Konstante <math>L\ge 1</math> gibt, so dass
:<math>\frac{1}{L}d_1(x,y)\le d_2(f(x),f(y))\le Ld_1(x,y)</math>
für alle <math>x,y\in M_1</math> gilt.

== Beispiele ==
*Eine lineare Abbildung <math>A\colon \R^n\to \R^n</math> ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn <math>\det(A) \neq 0</math> gilt.
*<math>\left\{0,1\right\}^\N</math> ist bilipschitz-äquivalent zur [[Cantormenge]], die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch <math>f((x_n)_n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{3^n}</math>.
*Die zu verschiedenen endlichen [[Erzeugendensystem]]en S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub> einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> zugeordneten [[Cayley-Graph]]en sind bilipschitz-äquivalent.
*Es gibt [[Quasi-Isometrie]]n, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.<ref>D. Burago, B. Kleiner: ''Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps.'' Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. [https://arxiv.org/pdf/dg-ga/9703022v1.pdf online]</ref><ref>T. Dymarz: ''Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups.'' Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. [https://arxiv.org/pdf/0904.3764v2.pdf online]</ref>
*Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume<ref>Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante <math>r>0</math> gibt, so dass für alle <math>x\not=y</math> die Ungleichung <math>d(x,y)>r</math> gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine [[Følner-Folge]]n gibt.</ref> quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.<ref>K. Whyte: ''Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture.'' Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. [https://arxiv.org/pdf/math/9704202v1.pdf online]</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fraktale Geometrie]]
[[Kategorie:Metrische Geometrie]]