Bilipschitz-Äquivalenz

Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

Definition

f : M_{1} \to M_{2}

zwischen metrischen Räumen $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante $L \geq 1$ gibt, so dass

\frac{1}{L} d_{1} (x, y) \leq d_{2} (f (x), f (y)) \leq L d_{1} (x, y)

für alle $x, y \in M_{1}$ gilt.

Eine lineare Abbildung $A : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn $\det (A) \neq 0$ gilt.
${0, 1}^{ℕ}$ ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch $f ((x_{n})_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}}$ .
Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S₁, S₂ einer Gruppe $G$ zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent.
Es gibt Quasi-Isometrien, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.^[1]^[2]
Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume^[3] quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.^[4]

↑ D. Burago, B. Kleiner: Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps. Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. online
↑ T. Dymarz: Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups. Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. online
↑ Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante $r > 0$ gibt, so dass für alle $x = y$ die Ungleichung $d (x, y) > r$ gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine Følner-Folgen gibt.
↑ K. Whyte: Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture. Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. online