Quelltext der Seite Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus

'''Areasekans hyperbolicus''' und '''Areakosekans hyperbolicus''' gehören zu den [[Areafunktion]]en. Sie sind die [[Umkehrfunktion]]en zu [[Sekans hyperbolicus]] bzw. [[Kosekans hyperbolicus]]. Als Funktionen werden sie <math>\operatorname{arsech}</math> oder seltener <math>\operatorname{sech}^{-1}</math> bzw. <math>\operatorname{arcsch}(x)</math> und seltener <math>\operatorname{csch}^{-1}(x)</math> geschrieben.

== Definitionen ==
Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:

:<math>\operatorname{arsech}(x)  = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}  {x} \right)</math>

:<math>\operatorname{arcsch}(x)  = \begin{cases}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}x\right)&,\text{für }x>0\\\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}x\right)&,\text{für }x<0\end{cases}</math>

Hierbei steht <math> \ln </math> für den [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]].

== Eigenschaften ==
{|
| [[Bild:Inverse Hyperbolic Secant.svg|mini|300px|Graph der Funktion Areasekans hyperbolicus]]
| [[Bild:Inverse Hyperbolic Cosecant.svg|mini|370px|Graph der Funktion Areakosekans hyperbolicus]]
|}

{| class="wikitable" 
|- class="hintergrundfarbe6"
!&nbsp;
!Areasecans hyperbolicus
!Areakosekans hyperbolicus
|-
! Definitionsbereich
| <math> 0 < x \le 1 </math>
| <math>  - \infty <  x < + \infty \, ; \, x\ne 0  </math>
|-
! Wertebereich
| <math> 0  \le f(x) < + \infty </math>
| <math> - \infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x) \ne 0 </math>
|-
! Periodizität
| keine
| keine
|-
! Monotonie
| streng monoton fallend
| <math>x \ne 0</math> streng monoton fallend
|-
! Symmetrien
| keine
| Ungerade Funktion<br/><math> f(x) = - f(-x)</math>
|-
! [[Asymptote]]
| <math> f(x) \to 0 </math>  ; <math> x  \to +1 </math>
| <math> f(x) \to 0 </math>  ; <math> x \to \pm \infty</math>
|-
! Nullstellen
| <math> x = 1 </math>
| keine
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! Polstellen
| <math> x = 0 </math>
| <math> x = 0 </math>
|-
! Extrema
| keine
| keine
|-
! [[Wendepunkt]]e
| <math> x = \frac{1}{2}\sqrt{2} </math>
| keine
|}

=== Spezielle Werte ===

Es gilt:

:<math>\operatorname{arcsch}\, 2=\ln\Phi</math>

wobei <math>\!\ \Phi</math> den [[Goldener Schnitt|goldenen Schnitt]] bezeichnet.

== Reihenentwicklungen ==

:<math>\begin{alignat}{2} \operatorname{arsech}(x) &= \ln \left(\frac{2}{x}\right) -\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!! x^{2k}}{(2k)!! 2k } & \qquad \mathrm{f\ddot ur}\, 0<x\leq 1
\\ \operatorname{arcsch}(x) &= \sum^{\infty}_{k=1} \frac{P_{k-1}(0)}{k}x^k 
\\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \cdot (\tfrac12)_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}\,x^{1-2k}
\end{alignat}</math>

Dabei ist <math>P_k</math> das <math>k</math>-te [[Legendre-Polynom]] und <math>(\tfrac12)_n</math> steht für das [[Pochhammer-Symbol]].

== Ableitungen ==

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}{\rm arsech}(x)= - \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}</math>.

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\operatorname{arcsch}(x)= -\frac {1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math>.

== Integrale ==
[[Stammfunktion]]en des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:
:<math>\int\operatorname{arsech}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arsech}(x) - \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right) + C</math>
:<math>\int\operatorname{arcsch}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arcsch}(x) + \ln\left( x+x\sqrt {1+{x}^{-2}}\right) + C. </math>

== Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen ==
: <math> \operatorname{arsech}\,(x)=\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{x}\right)</math>
: <math> \operatorname{arcsch}\,(x)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{1}{x}\right)</math>

== Siehe auch ==
* [[Trigonometrische Funktion]]en
* [[Kreis- und Hyperbelfunktionen]]

== Weblinks ==

*Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicSecant.html Inverse Hyperbolic Secant] und [https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicCosecant.html Inverse Hyperbolic Cosecant] auf [[MathWorld]]

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}
[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]