Quelltext der Seite ∂

{{Dieser Artikel|1=behandelt das mathematische Symbol. Zum kyrillischen Buchstaben ''д'' siehe [[Д]], zum griechischen Buchstaben δ siehe [[Delta]], zum Buchstaben ꝺ siehe [[Insulare Schriften]].}}
{{Mathematische Zeichen|∂}}

Das '''∂''' (sprich: '''Del''') ist ein [[Liste mathematischer Symbole|mathematisches Symbol]], das hauptsächlich für die [[partielle Ableitung]] <math>\tfrac{\partial }{\partial x}</math> und das partielle [[Differential (Mathematik)|Differential]] <math>\partial f</math> benutzt wird. Es hat die [[Unicode]]nummer [[Unicodeblock Mathematische Operatoren|U+2202]].<ref>[https://www.compart.com/de/unicode/U+2202 Unicode-Zeichen „∂“ (U+2202)], Daten zum Symbol</ref>

== Namen ==
Der geläufigste Name des ∂ ist ''Del'',<ref>[https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/introduction-to-partial-derivatives Introduction to partial derivatives], [[Khan Academy]]</ref><ref>Prof. Stefan Kooths, Nicole Wägner: [https://nanopdf.com/download/formel-bersicht_pdf Formel-Übersicht], Abschnitt Operatoren und Funktionen. [[University of Applied Sciences Europe|Business and Information Technology School]], 2014.</ref> was allerdings im Englischen auch den [[Nabla-Operator]] bezeichnet. Daher gibt es weitere Namen für das Symbol, u.&nbsp;a. ''partielles d'',<ref>Malcolm Pemberton, Nicholas Rau: ''[https://books.google.de/books?id=H92Z6yfhxk8C Mathematics for Economists: An Introductory Textbook]''. University of Toronto Press, 3. Ausgabe 2011. ISBN 1442612762. Zitat S, 270/271: [https://books.google.de/books?id=H92Z6yfhxk8C&lpg=PA271&pg=PA271&redir_esc=y#v=onepage&q=pronounced&f=false „pronounced 'partial-dee-eff-by-dee-ex'“.]</ref> im Englischen ''Dabba''<ref>M. Y. Gokhale, N. S. Mujumdar, S. S. Kulkarni, A. N. Singh, K. R. Atal: [https://books.google.co.uk/books?id=CbIqX6TxJVMC&pg=SA10-PA2#v=onepage&q&f=false Engineering Mathematics-i]. Nirali Prakashan, 1981, Abschnitt 10.5. ISBN 8190693549. Zitat S. 10.2: „we read it as dabba z by dabba x (or del z by del x)“.</ref> oder ''Jacobidelta'',<ref name="Aldrich"/> sowie einfach ''d''.<ref>Richard A. Silverman: ''[https://books.google.de/books?id=CQ-kqE9Yo9YC&lpg=PA216&pg=PA216&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Essential Calculus with Applications]''. Courier Corporation, 1977; zweite Ausgabe 1989, S. 216. Dover Publications Inc, New York. ISBN 0486660974</ref> Dann ist es allerdings sprachlich nicht mehr von der [[Totales Differential|totalen Ableitung]] zu unterscheiden.

== Verwendungsgeschichte ==
So wie das [[Integralzeichen]] eine spezielle Form des [[Langes s|langen s]] darstellt, ist das ∂ eine spezielle kursive Schreibweise des ''d''s. Zuerst verwendet wurde es 1770 vom französischen Mathematiker [[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet|Nicolas de Concordet]] als Symbol für das partielle Differential.<ref name="Aldrich">John Aldrich: [http://jeff560.tripod.com/calculus.html Earliest Uses of Symbols of Calculus], Abschnitt ''partial derivative''. Website Jeff Millers, Quelle für gesamte Verwendungsgeschichte.</ref>

{{Zitat
 |Text=Dans toute la suite de ce Memoire, dz & ∂z désigneront ou deux differences partielles de z, dont une par rapport a x, l'autre par rapport a y, ou bien dz sera une différentielle totale, & ∂z une difference partielle.
 |Übersetzung=Im weiteren Verlauf dieser Abhandlung bezeichnen dz & ∂z entweder zwei partielle Differentiale von z, davon einer in Bezug auf x, der andere in Bezug auf y, oder dz ist ein Gesamtdifferential & ∂z ein partielles Differential.
 |Autor=[[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet|Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet]]
 |Quelle=''Memoire sur les Equations aux différence partielles'', 1773<ref>[[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet]]: ''[http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3568&I=323&M=pagination Memoire sur les Equations aux différence partielles]''. In: Histoire de L'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXIII (1773). S. 151–178, Zitat S. 152.</ref>}}

[[Adrien-Marie Legendre]] verwendete es 1786 erstmals für die partielle Ableitung.<ref name="Aldrich"/>

{{Zitat
 |Text=Pour éviter toute ambiguité, je représenterai par ∂u/∂x le coefficient de x dans la différence de u, & par du/dx la différence complète de u divisée par dx.
 |Übersetzung=Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werde ich durch ∂u/∂x den Koeffizienten von x im Differential von u & durch du/dx das totale Differential von u geteilt durch dx darstellen.
 |Autor=[[Adrien-Marie Legendre]]
 |Quelle=''Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations'', 1786<ref>[[Adrien-Marie Legendre]]: ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3585j/f95.image Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations]''. In: Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), Paris, M. DCCXXXVIII (1788). S. 7–37, Zitat Fußnote S. 8.</ref>}}

Legendre stellte die Verwendung später ein. [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] nahm sie 1841 wieder auf und verbreitete das ∂ weitreichend.<ref name="Aldrich"/>

{{Zitat
 |Text=Sed quia uncorum accumulatio et legenti et scribenti molestior fieri solet, praetuli characteristica d differentialia vulgaria, differentialia autem partialia characteristica ∂ denotare.
 |Übersetzung=Da jedoch die Anhäufung von Haken für das Lesen und Schreiben noch mühsamer ist, bevorzuge ich die üblichen d charakteristisch für gewöhnliche Differentiale, für partielle Differentiale ist charakteristisch ∂ angegeben.
 |Autor=[[Carl Gustav Jacob Jacobi]]
 |Quelle=''De determinantibus Functionalibus'', 1841<ref>[[Carl Gustav Jacob Jacobi]]: ''De determinantibus Functionalibus''. In: ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]].'' Band 22, 1841, S. 319–352, S. 393–438 im 1. Band der gesammelten Werke.</ref>}}

== Anwendungen ==
<math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}f(x, y)</math> ist die ''partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>x</math>''. Man braucht sie, wenn eine multivariable Funktion nach einer Variablen differenziert werden soll, um anzugeben, nach welcher.

<math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial(f_1, f_2, \cdots, f_m)}{\partial(x_1, x_2, \cdots, x_n)} = \begin{pmatrix}
 \cfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \cfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n} 
\end{pmatrix}</math><br />nennt man die m×n-[[Jacobimatrix]] von <math>f</math> nach <math>x</math> (Matrix der partiellen Ableitungen der von n Variablen abhängigen m-dimensionalen Funktion <math>f</math>).

Neben partieller Ableitung, partiellem Differential und Jacobimatrix wird das ∂ auch in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] als [[Rand (Topologie)|Rand]] einer [[Menge (Mathematik)|Menge]], in der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] als Grenzoperator in einem [[Kettenkomplex]] oder einer DG-Algebra und in der [[Dolbeault-Kohomologie]] als das [[Komplexe Konjugation|komplex Konjugierte]] des [[Wirtinger-Kalkül#Dolbeault-Operator|Dolbeault-Operators]] über einer [[Komplexe Differentialform|komplexen Differentialform]] verwendet. In der [[Linguistik]] benutzt man das ∂ für [[Präsupposition]]en eines Satzes.<ref>Ljudmila Geist, Björn Rothstein: ''[https://books.google.de/books?hl=de&id=IWzBRNdmD-EC&q=%E2%88%82#v=snippet&q=%E2%88%82&f=false Kopulaverben und Kopulasätze: Intersprachliche und intrasprachliche Aspekte]''. Linguistische Arbeiten, Band 512. Hrsg. Walter de Gruyter, 2012, Erstausgabe 2007. Max Niemeyer Verlag, Tübingen. ISBN 3110938839. S. 154, Zitat: »„∂“ dient als Marker für Präsuppositionen«.</ref>

== Kodierung ==
{| class="wikitable"
|+ Kodierung in Unicode,  [[HTML]] und [[LaTeX]]
|- class="hintergrundfarbe6"
! rowspan="2" | Zeichen
! colspan="2" | Unicode
! rowspan="2" | Bezeichnung
! colspan="3" | HTML
! rowspan="2" | LaTeX<ref>Will Robertson: {{Webarchiv|url=http://mirrors.ibiblio.org/CTAN/macros/latex/contrib/unicode-math/unimath-symbols.pdf |wayback=20200810023806 |text=Symbols defined by unicode-math }}, 31. Januar 2020</ref>
|- class="hintergrundfarbe6"
! Position
! Bezeichnung
! hexadezimal
! dezimal
! benannt
|- style="text-align:center"
| ∂
| <code>U+2202</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|partial differential}}
| style="text-align:left" | Partielles Differential
| &amp;#x2202;
| &amp;#8706;
| &amp;part;
| <code>\partial</code>
|- style="text-align:center"
| 𝛛
| <code>U+1D6DB</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|mathematical bold partial differential}}
| style="text-align:left" | Mathematische fette partielle Ableitung
| &amp;#x1D6DB;
| &amp;#120539;
| 
| <code>\mbfpartial</code>
|- style="text-align:center"
| 𝜕
| <code>U+1D715</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|mathematical italic partial differential}}
| style="text-align:left" | Mathematische kursive partielle Ableitung
| &amp;#x1D715;
| &amp;#120597;
| 
| <code>\mitpartial</code>
|- style="text-align:center"
| 𝝏
| <code>U+1D74F</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|mathematical bold italic partial differential}}
| style="text-align:left" | Mathematische fettkursive partielle Ableitung
| &amp;#x1D74F;
| &amp;#120655;
| 
| <code>\mbfitpartial</code>
|- style="text-align:center"
| 𝞉
| <code>U+1D789</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|mathematical sans-serif bold partial differential}}
| style="text-align:left" | Mathematische serifenlose fette partielle Ableitung
| &amp;#x1D789;
| &amp;#120713;
| 
| <code>\mbfsanspartial</code>
|- style="text-align:center"
| 𝟃
| <code>U+1D7C3</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|mathematical sans-serif bold italic partial differential}}
| style="text-align:left" | Mathematische serifenlose fettkursive partielle Ableitung
| &amp;#x1D7C3;
| &amp;#120771;
| 
| <code>\mbfitsanspartial</code>
|}

== Weblink ==
{{Wiktionary|del}}

== Quellen ==
<references/>

[[Kategorie:Mathematisches Zeichen]]