Quelltext der Seite Σ-Ring

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Ein '''σ-Ring''' oder auch ''σ-Mengenring'' ist ein spezielles [[Mengensystem]], das eine wichtige Rolle in der [[Maßtheorie]] spielt. Ein σ-Ring ist ein σ-vereinigungsstabiles Mengensystem, das zusätzlich abgeschlossen bezüglich [[Differenzmenge|Differenzbildung]] ist.

== Definition ==
Sei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge. Ein [[Mengensystem]] <math>\mathcal R</math> auf <math>\Omega</math>, also eine Menge von Teilmengen von <math>\Omega</math>, heißt ''σ-Ring'' (über <math>\Omega</math>), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
# <math>\emptyset \in \mathcal R</math>: Der σ-Ring enthält die [[leere Menge]].
# <math>A_1, A_2, A_3, ... \in \mathcal R \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \in \mathcal R</math> (Stabilität/[[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]] bezüglich [[Mengenlehre#Vereinigungsmenge|abzählbaren Vereinigungen]]).
# <math>A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich [[Mengenlehre#Differenz_und_Komplement|Differenz]]).

== Beispiele ==
* Einfaches Beispiel für einen σ-Ring ist <math>\{\emptyset\}</math>, sie ist der kleinst mögliche σ-Ring.

* Ein weiteres Beispiel ist die [[Potenzmenge]] <math>\mathcal P(\Omega)</math>, sie ist der größt mögliche σ-Ring über einer gegebenen Menge <math>\Omega</math>.

* Ist nun <math>\mathcal S</math> ein beliebiges Mengensystem über der Menge <math>\Omega</math>, so ist
:: <math>\mathcal R_{\mathcal S} := \bigcap_{\scriptstyle\mathcal S\subseteq\mathcal R' \atop{\scriptstyle \mathcal R' \text{ ist σ-Ring} \atop\scriptstyle \text{über } \Omega}} \mathcal R'</math>
: der von <math>\mathcal S</math> erzeugte σ-Ring. Er ist der kleinste σ-Ring über <math>\Omega</math>, der <math>\mathcal S</math> enthält.

* Das System aller [[Abzählbarkeit|abzählbaren]] Teilmengen einer Grundmenge <math>\Omega</math>, also das Mengensystem
:: <math>\{A \subseteq \Omega \mid  A \text{ ist endlich oder abzählbar unendlich }\}</math>,
: ist ein σ-Ring über <math>\Omega</math>. Bei [[Überabzählbare Menge|überabzählbarer]] Grundmenge ist dieses System keine [[σ-Algebra]].

== Eigenschaften ==
In einem σ-Ring sind abzählbare Durchschnitte wieder im σ-Ring enthalten, denn es gilt
: <math>\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \setminus \bigcup_{i=2}^{\infty} (A_1\setminus A_i)</math>
für jede Folge <math>(A_i)_{i\in\N}</math> im σ-Ring.

Damit sind auch endliche Schnitte und Vereinigungen im σ-Ring enthalten. Ebenso ist für jede Mengenfolge <math>(A_i)_{i\in\N}</math> im σ-Ring <math>\mathcal R</math> auch wieder [[Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen|Limes superior und Limes inferior]] der Mengenfolge wieder in <math>\mathcal R</math>:
: <math>\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n \in \mathcal R\;</math> und <math>\;\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n \in \mathcal R</math>.

Des Weiteren lässt sich jede abzählbare Vereinigung von beliebigen Mengen aus <math>\mathcal R</math> als abzählbare Vereinigung von disjunkten Mengen aus <math>\mathcal R</math> schreiben. Dies ist insbesondere für die Untersuchung von Mengenfunktionen auf [[σ-Additivität]] wichtig.

== Operationen ==
=== Durchschnitte von σ-Ringen ===
Der Durchschnitt <math>\mathcal R_1 \cap \mathcal R_2</math> zweier σ-Ringe <math>\mathcal R_1</math> und <math>\mathcal R_2</math> über <math>\Omega</math> ist stets wieder ein σ-Ring. Denn sind <math>A, B \in \mathcal R_1 \cap \mathcal R_2</math>, so ist 
* <math>A\setminus B \in \mathcal R_1</math>, da <math>A, B \in \mathcal R_1</math>, sowie
* <math>A\setminus B \in \mathcal R_2</math>, da <math>A, B \in \mathcal R_2</math>.
Somit ist auch <math>A \setminus B \in \mathcal R_1 \cap \mathcal R_2</math>, der Durchschnitt der σ-Ringe ist also differenzstabil. Die Stabilität bezüglich der abzählbaren Vereinigungen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Ringen über <math>\Omega</math>, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: Ist <math>I</math> eine beliebige Indexmenge und sind <math>\mathcal R_i</math> für alle <math>i\in I</math> σ-Ringe über derselben Grundmenge <math>\Omega</math>, so ist der Schnitt aller dieser σ-Ringe wieder ein σ-Ring <math>\mathcal R_I</math> über <math>\Omega</math>:
: <math>\mathcal R_I := \bigcap_{i\in I}\mathcal R_i</math>.

=== Vereinigungen von σ-Ringen ===
Die Vereinigung <math>\mathcal R_1 \cup \mathcal R_2</math> zweier σ-Ringe <math> \mathcal R_1 </math> und <math> \mathcal R_2 </math> über <math>\Omega</math> ist im Allgemeinen kein σ-Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Ringe
: <math>\mathcal R_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}</math>
sowie
: <math>\mathcal R_2 = \{\emptyset, \{2\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\}</math>
über <math>\Omega = \{1, 2, 3\}</math>, so ist
: <math>\mathcal R_1 \cup \mathcal R_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}</math>.
Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es <math>\{1\} \cup \{2\} = \{1,2\}</math> nicht enthält, und somit auch kein σ-Ring.

=== Produkte von σ-Ringen ===
Sind <math>\mathcal R_1</math> und <math>\mathcal R_2</math> σ-Ringe über <math>\Omega_1</math> bzw. <math>\Omega_2</math>, so ist das [[Mengenlehre#Kartesisches Produkt|Produkt]] <math>\mathcal R_1 \times \mathcal R_2</math> von <math>\mathcal R_1</math> und <math>\mathcal R_2</math> im Allgemeinen kein σ-Ring (über <math>\Omega_1 \times \Omega_2</math>) mehr. Denn betrachtet man den σ-Ring
: <math>\mathcal R = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}</math>,
über <math>\Omega = \{1,2\}</math>, so enthält das Mengensystem <math>\mathcal R \times \mathcal R</math> sowohl die Mengen
: <math>A = \{1,2\} \times \{1,2\} = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}</math> als auch <math>B = \{2\} \times \{2\}= \{(2,2)\}</math>.
Die Menge
: <math>A \setminus B = \{(1,1), (1,2), (2,1)\}</math>
ist jedoch nicht in <math>\mathcal R \times \mathcal R</math> enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus <math>\mathcal R</math> darstellen lässt. Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein σ-Ring.

=== Spur eines σ-Ringes ===
Die [[Spur eines Mengensystems|Spur eines σ-Ringes]] <math>\mathcal R</math> bezüglich einer Menge <math>U</math>, also das Mengensystem
: <math>\mathcal R|_U := \{A \cap U \mid A \in \mathcal R\}</math>
ist immer ein σ-Ring, unabhängig von der Wahl von <math>U</math>.

== Beziehung zu verwandten Strukturen ==
[[Datei:LaTeX1 Kopie.png|mini|400px|Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme]]
=== σ-Algebren ===
Ein σ-Ring, der die Grundmenge <math>\Omega</math> enthält, ist eine [[σ-Algebra]] (und damit auch eine [[Mengenalgebra|Algebra]]). Somit ist jede σ-Algebra ein σ-Ring, die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch. Beispiel für einen σ-Ring, der keine σ-Algebra ist, ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte σ-Ring.

=== Ringe ===
Jeder σ-Ring ist ein [[Mengenring|Ring]] und damit auch ein [[Halbring (Mengensystem)|Halbring]] und ein [[Mengenverband]]. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Beispiel eines Ringes, der kein σ-Ring ist, wäre das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzählbar unendlichen Grundmenge.

=== δ-Ringe ===
Jeder σ-Ring ist auch immer ein [[Δ-Ring (Mengensystem)|δ-Ring]], denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde, sind σ-Ringe immer auch stabil bezüglich abzählbaren Schnitten. Umgekehrt sind δ-Ringe jedoch im Allgemeinen keine σ-Ringe. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge <math>\Omega</math> und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen
: <math>\mathcal E := \{E \subseteq \Omega \mid |E| < \infty\}</math>,
so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

=== Monotone Klassen ===
Jeder Ring, der eine [[monotone Klasse]] ist, ist ein σ-Ring. Denn sind die Mengen <math>A_1, A_2, A_3, ...</math> im Ring enthalten, so ist auch
: <math>B_n := \bigcup_{i=1}^n A_i </math>
aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen <math>B_n</math> bilden aber eine [[monoton wachsende Mengenfolge]], daher ist ihr [[Konvergente Mengenfolge|Grenzwert]]
: <math>\lim_{n\to\infty}B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math>
aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring [[erzeugte monotone Klasse]] immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse.

== Literatur ==
* [[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2
* Achim Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

{{SORTIERUNG:SigmaRing}}
[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]