Stochastisch vollständige Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist eine stochastisch vollständige Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit $M$, auf der eine brownsche Bewegung definiert ist, welche dort fast sicher verweilt, egal in welchem Ausgangspunkt $x\in M$ sie beginnt. Eine Verfeinerung des Begriffes ist der Begriff der lokalen Zeit auf Mannigfaltigkeiten.

Definition

Sei $M$ eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit und $p(x,y,t)\in C^{\mathrm{\infty }}(M\times M\times (0,\mathrm{\infty }))$ der Wärmeleitungskern für den Laplace-Beltrami-Operator. Die Brownsche Bewegung auf $M$ ist ein Markow-Prozess und ihre Übergangswahrscheinlichkeitsdichte ist der Wärmeleitungskern $p(x,y,t)$. Die Mannigfaltigkeit $M$ heißt stochastisch vollständig, wenn für ein (äquivalent für alle) $(x,t)\in M\times (0,\mathrm{\infty })$ gilt

$\underset{M}{\int }p(x,y,t)dy=1$.

Äquivalente Charakterisierungen

Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann stochastisch vollständig, wenn für jedes $\lambda >0$ die Ungleichung $\mathrm{\Delta }u\ge \lambda u$ außer $u=0$ keine nichtnegativen, beschränkten, glatten Lösungen hat. Äquivalent soll für jedes $T>0$ die triviale Lösung $u=0$ auf $M\times [0,T]$ die einzige beschränkte Lösung des Cauchy-Problems $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }u$ mit $u{\mid }_{t=0+}=0$ im $L_{loc}^1$-Sinn sein.

Beispiele

${ℝ}^n\setminus \left\{0\right\}$ ist stochastisch vollständig für $n=2$, aber nicht für $n=1$. Offene Teilmengen $U\subset {ℝ}^n$, deren Abschluss nicht ganz ${ℝ}^n$ ist, sind nicht stochastisch vollständig. Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Schranke für die Ricci-Krümmung sind immer stochastisch vollständig.

Literatur

• A. Grigoryan: Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 36, 135–249 (1999)