Slawnow-Taylor-Identität

Die Slawnow-Taylor-Identitäten sind eine Klasse von Beziehungen in der Quantenfeldtheorie, die Vakuumerwartungswerte von zeitgeordneten Größen, die sogenannten Korrelationsfunktionen, miteinander verknüpft. Sie verallgemeinern die Ward-Takahashi-Identität der Quantenelektrodynamik auf nichtabelsche Yang-Mills-Theorien, insbesondere die Quantenchromodynamik, also die Theorie der starken Wechselwirkung. Die Slawnow-Taylor-Identitäten wurden unabhängig voneinander 1971 von John C. Taylor und 1972 von Andrei Slawnow entdeckt.

Die Slawnow-Taylor-Identitäten folgen aus der BRST-Symmetrie, da die Physik invariant unter BRST-Symmetrieoperationen sein muss. Das heißt, eine Modifikation aller Felder $\mathrm{\Phi }\to {\mathrm{\Phi }}^{\prime }=\mathrm{\Phi }+\delta \mathrm{\Phi }$ darf die Physik nicht verändern. Insbesondere gilt dies für das erzeugende Funktional

$𝒵[J]=\int \prod _{i=1}^n𝒟[{\mathrm{\Phi }}_i]\exp (\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{4}x(ℒ+\sum _{j=1}^n{J}_j(x){\mathrm{\Phi }}_j(x)))$

im Pfadintegral-Formalismus der Quantenfeldtheorie. Das heißt, es gilt

$\delta 𝒵={𝒵}^{\prime }-𝒵=0$.

Da die Lagrangedichte $ℒ$ und das Pfadintegral bereits invariant unter BRST-Operationen sind, es ist also ${ℒ}^{\prime }=ℒ$ und $𝒟{\mathrm{\Phi }}^{\prime }=𝒟\mathrm{\Phi }$, und die BRST-Symmetrie auf nilpotenten Graßmann-Zahlen beruht, folgt daraus

$\int \prod 𝒟{\mathrm{\Phi }}_i\exp (𝒾\int {\mathrm{d}}^{4}x(ℒ+\sum J_j(x){\mathrm{\Phi }}_j(x)))\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{4}y{J}_i(y)\delta {\mathrm{\Phi }}_i(y)=0$

Die zeitgeordneten Vakuumerwartungswerte erhält man nun, indem nach den entsprechenden $J$ differenziert wird und danach alle $J$ gleich Null gesetzt werden. Da bei diesem Vorgehen immer genau ein $\delta \mathrm{\Phi }$ übrig bleibt, folgt

$\begin{array}{cc}0& =⟨T(\delta {\mathrm{\Phi }}_1){\mathrm{\Phi }}_2\dots {\mathrm{\Phi }}_n⟩+\dots +⟨T{\mathrm{\Phi }}_1\dots {\mathrm{\Phi }}_{n-1}(\delta {\mathrm{\Phi }}_n)⟩\\ & =\delta ⟨T{\mathrm{\Phi }}_1\dots {\mathrm{\Phi }}_n⟩\end{array}$

Dies ist die Slawnow-Taylor-Identität.