Satz von Weyl über Gleichverteilung

Vorlage:Belege Der Satz von Weyl (nach Hermann Weyl) ist die Grundlage für arithmetische Zufallszahlengeneratoren. Er besagt:

Sei $y_0\in ]0,1[$ eine irrationale Zahl. Dann hat die Folge

$(u_i{)}_{i\ge 1}\subseteq ]0,1[$,

gliedweise definiert durch

$u_i=i{y}_0-\lfloor i{y}_0\rfloor =i{y}_{0}mod1$

die asymptotische Gleichverteilungseigenschaft. Für alle $a,b\in ℝ$ mit $0<a<b<1$ gilt also:

$\frac{|\{i|1\le i\le n;a\le u_i\le b\}|}{n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}b-a$.

Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewähltes Folgenglied in $[a,b]$ liegt, beträgt $b-a$.