Satz von Komlós

Der Satz von Komlós ist ein Theorem aus der Stochastik und der Analysis über die Cesàro-Konvergenz einer Teilfolge von Zufallsvariablen (resp. Funktionen) sowie ihrer Teilfolgen zu einer integrierbaren Zufallsvariable (resp. Funktion).

Der Satz wurde 1967 von dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker János Komlós bewiesen. 1970 bewies Srishti D. Chatterji eine Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume.

Satz von Komlós

Probabilistische Variante

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ eine darauf existierende Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit $\sup {\mathrm{\backslash limits}}_n𝔼[|{\xi }_n|]<\mathrm{\infty }.$

Dann existierten eine Zufallsvariable $\psi \in L^1(P)$ und eine Teilfolge $({\eta }_k)=({\xi }_{n_k})$, so dass für jede beliebige Teilfolge $({\tilde{\eta }}_n)=({\eta }_{k_n})$ gilt, wenn $n\to \mathrm{\infty }$, dann

$\frac{({\tilde{\eta }}_1+\cdots +{\tilde{\eta }}_n)}{n}\to \psi$

$P$-fast sicher.

Analytische Variante

Sei $(E,𝒜,\mu )$ ein endlicher Maßraum und $f_1,f_2,\dots$ eine reelle Folge in $L^1(\mu )$ mit $\sup {\mathrm{\backslash limits}}_n\underset{E}{\int }|f_n|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$. Dann existierten eine Funktion $\upsilon \in L^1(\mu )$ und eine Teilfolge $(g_k)=(f_{n_k})$, so dass für jede beliebige Teilfolge $({\tilde{g}}_n)=(g_{k_n})$ gilt, wenn $n\to \mathrm{\infty }$, dann

$\frac{({\tilde{g}}_1+\cdots +{\tilde{g}}_n)}{n}\to \upsilon$

$\mu$-fast überall.

Erläuterungen

Das Theorem sagt, dass sowohl die Folge $({\eta }_k)$ als auch ihre Teilfolgen im Cesàro-Mittel fast sicher gegen $\psi$ konvergieren.

Verallgemeinerungen

Von Srishti D. Chatterji stammt folgende Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume:

Sei $(S,𝒜,\mu )$ ein Maßraum und $f_1,f_2,\dots$ eine Folge, so dass für alle $f_i\in L^p(S,𝒜,\mu )$ mit $0<p<2$ und

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_n\underset{S}{\int }|f_n{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$

Dann existieren eine Teilfolge $(g_k)=(f_{n_k})$ und eine Funktion $\phi \in L^p$, so dass für jede beliebige Teilfolge $({\tilde{g}}_n)=(g_{k_n})$ gilt, wenn $n\to \mathrm{\infty }$, dann

$\frac{({\tilde{g}}_1+\cdots +{\tilde{g}}_n)}{n^{1/p}}\to \phi$

fast überall.

Weiter gilt falls $0<p<1$, dann ist $\phi \equiv 0$ immer eine mögliche Wahl.

Im Allgemeinen kann die Teilfolge $(g_k)=(f_{n_k})$ nicht so gewählt werden, dass $L^p$-Konvergenz gilt. Diese gilt aber, wenn eine Teilfolge $(h_k)=(f_{n_k})$ existiert, so dass $\{|h_k{|}^p\}\subset L^1$ schwach folgenkompakt ist. Letzteres bedeutet im Falle wenn $\mu$ endlich ist, dass $(h_k)$ eine gleichmäßig integrierbare Familie ist, d. h.

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to \mathrm{\infty }}\underset{\{|h|>N\}}{\int }|h{|}^p\mathrm{d}\mu =0$

gleichmäßig für $h\in (h_k)$.