Plücker-Koordinaten

Plücker-Koordinaten sind Koordinaten für Geraden im 3-dimensionalen Raum. Benannt sind sie nach Julius Plücker. Sie sind ein Spezialfall der allgemeineren Graßmann-Plücker-Koordinaten.

Um eine Gerade $L$ im 3-dimensionalen projektiven Raum $P^3$ zu beschreiben, wählen wir zwei auf der Geraden liegende Punkte $x$ und $y$ mit homogenen Koordinaten $[x_0:x_1:x_2:x_3]$ und $[y_0:y_1:y_2:y_3]$ und definieren für alle $i<j$

$p_{ij}=\det \left(\begin{array}{cc}{x}_i& y_i\\ x_j& y_j\end{array}\right)=x_i{y}_j-x_j{y}_i$.

Im $P^5$ ist der Punkt mit homogenen Koordinaten

$[p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{12}:p_{13}:p_{23}]$

wohldefiniert, unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten für $x$ und $y$. Weil die Determinante multilinear und alternierend ist, hängen diese Koordinaten nur von der Gerade $L$ und nicht von den auf der Geraden gewählten Punkten $x$ und $y$ ab.

Die sechs Koordinaten genügen der Plücker-Relation

$p_{01}{p}_{23}+p_{03}{p}_{12}=p_{02}{p}_{13}$.

Diese Gleichung beschreibt eine kegelige Quadrik im $P^5$, die als Kleinsche Quadrik bezeichnet wird. Die Geraden im $P^3$ werden also durch die Punkte der Kleinschen Quadrik parametrisiert.

Mit den Koordinaten $d=(p_{01},p_{02},p_{03})$ und $m=(p_{23},-p_{13},p_{12})$ kann man die Plücker-Relation auch als $d\cdot m=0$ formulieren. Eine typische Anwendung ist die Beschreibung von in einer Ebene liegenden Geraden. Wenn eine Gerade $L$ durch die Koordinaten $(p_{01},\dots ,p_{23})$ oder $(d,m)$ und eine zweite Gerade $L^{\prime }$ durch die Koordinaten $(p_{01}^{\prime },\dots ,p_{23}^{\prime })$ oder $(d^{\prime },m^{\prime })$ gegeben ist, dann liegen die Geraden $L$ und $L^{\prime }$ genau dann in einer Ebene, wenn

$d\cdot m^{\prime }+m\cdot d^{\prime }=0$

gilt.

Des Weiteren liegt ein Punkt $p$ aus dem reellen Koordinatenraum ${ℝ}^3$ genau dann auf der Gerade $L$, wenn

$p\times d=m$,

dabei bezeichnet $\times$ das Kreuzprodukt.

Literatur

• A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie Vieweg + Teubner, 2. Auflage, Braunschweig u. a. 2004, ISBN 9783322803290, S. 162–171
• Vorlage:EoM