Ober- und Unterlösung

In der Mathematik werden Ober- und Unterlösungen (engl.: super solutions und sub solutions) zur qualitativen Analyse von (nicht explizit lösbaren) Differentialgleichungen verwendet.

Definition

Eine Oberlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung $x^{\prime }=f(t,x)$ ist eine differenzierbare Abbildung $x_{+}:(a,b)\to ℝ$ mit

$x_{+}^{\prime }>f(t,x_{+}(t))$

für alle $t\in (a,b)$.

Eine Unterlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung $x^{\prime }=f(t,x)$ ist eine differenzierbare Abbildung $x_{-}:(a,b)\to ℝ$ mit

$x_{-}^{\prime }<f(t,x_{-}(t))$

für alle $t\in (a,b)$.

Beispiel

Für die Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=x(t{)}^2-t^2$

ist $x_{+}(t)=t$ eine Oberlösung wegen

$x_{+}^{\prime }(t)=1>0=x_{+}(t{)}^2-t^2$

und $x_{-}(t)=-t$ eine Unterlösung wegen

$x_{-}^{\prime }(t)=-1<0=x_{-}(t{)}^2-t^2$.

Weiter ist $x_{+}(t)=-\sqrt{t^2-2}$ eine Oberlösung wegen

$x_{+}^{\prime }(t)=-\frac{t}{\sqrt{t^2-2}}>-2=x_{+}(t{)}^2-t^2$

und $x_{-}(t)=\sqrt{t^2-2}$ eine Unterlösung wegen

$x_{-}(t{)}^{\prime }=\frac{t}{\sqrt{t^2-2}}<2=x_{-}(t{)}^2-t^2$.

Vergleichssatz

Der Vergleichssatz für Ober- und Unterlösungen besagt:

a) Wenn $x_{+}:(a,b)\to ℝ$ eine Oberlösung der Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ mit $x_{+}(t_0)\ge x_0$ für ein $t_0\in (a,b),x_0\in ℝ$ ist, dann gilt für jede Lösung $x:(a,b)\to ℝ$ des Anfangswertproblems $x^{\prime }(t)=f(t,x(t)),x(t_0)=x_0$ die Ungleichung

$x(t)<x_{+}(t)$

für alle $t>t_0$.

b) Wenn $x_{-}:(a,b)\to ℝ$ eine Unterlösung der Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ mit $x_{-}(t_0)\le x_0$ für ein $t_0\in (a,b),x_0\in ℝ$ ist, dann gilt für jede Lösung $x:(a,b)\to ℝ$ des Anfangswertproblems $x^{\prime }(t)=f(t,x(t)),x(t_0)=x_0$ die Ungleichung

$x(t)>x_{-}(t)$

für alle $t>t_0$.

Beweis: Setze $\mathrm{\Delta }(t)=x_{+}(t)-x(t)$ für a) bzw. $\mathrm{\Delta }(t)=x(t)-x_{-}(t)$ für b). Dann ist $\mathrm{\Delta }(t_0)\ge 0$ und in Punkten mit $\mathrm{\Delta }(t)=0$ muss ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }(t)>0$ sein. Der Graph von $\mathrm{\Delta }$ kann die $t$-Achse also nur von unten nach oben kreuzen, was aber wegen $\mathrm{\Delta }(t_0)\ge 0$ nicht möglich ist. Also gilt $\mathrm{\Delta }(t)>0$ für alle $t>t_0$.

Literatur

• G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics Bd. 140, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0