Lemma von Céa

Das Lemma von Céa oder das Céa-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

Formulierung

Voraussetzungen

Sei $V$ ein reeller Hilbertraum mit der Norm $\Vert \cdot \Vert$. Sei $a:V\times V\to ℝ$ eine Bilinearform, die

• beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. $|a(v,w)|\le C\Vert v\Vert \Vert w\Vert$ für eine Konstante $C>0$ und alle $v,w\in V$

• und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. $a(v,v)\ge \alpha \Vert v{\Vert }^2$ für eine Konstante $\alpha >0$ und alle $v\in V$

ist. Sei weiter $L:V\to ℝ$ ein beschränkter linearer Operator.

Problemstellung

Betrachte das Problem, ein $u\in V$ mit

$a(u,v)=L(v)$ für alle $v\in V$

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum $V_h\subset V$, d. h. es ist ein $u_h\in V_h$ zu finden mit

$a(u_h,v)=L(v)$ für alle $v\in V_h$.

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

Aussage des Lemmas

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:

$\Vert u-u_h\Vert \le \frac{C}{\alpha }\underset{v_h\in V_h}{\inf }(\Vert u-v_h\Vert )$.

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung $u_h$ aus dem Unterraum $V_h$ höchstens um die Konstante $\frac{C}{\alpha }$ schlechter ist als die beste Approximation für $u$ im Raum $V_h$, sie ist quasi-optimal.

Bemerkungen

Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf $\sqrt{\frac{C}{\alpha }}$, der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform $a(\cdot ,\cdot )$ statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu $|a(v,v)|\ge \alpha \Vert v{\Vert }^2$ für alle $v\in V$, man beachte die Betragszeichen um $a(v,v)$.

Die Approximationsgüte des Ansatzraums $V_h$ bestimmt den Approximationsfehler $\Vert u-u_h\Vert$ stark.

Sonderfall: Symmetrische Bilinearform

Die Energienorm

In vielen Anwendungen ist die Bilinearform $a$ symmetrisch, also $a(v,w)=a(w,v)$ für alle $v,w$ in $V$. Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass $a$ ein Skalarprodukt von $V$ ist. Die implizierte Norm $\Vert v{\Vert }_a=\sqrt{a(v,v)}$ wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm $\Vert \cdot \Vert$ des Vektorraums $V$.

Das Lemma von Céa in der Energienorm

Die Unterraum-Lösung $u_h$ ist eine Projektion von $u$ auf den Unterraum $V_h$ bezüglich des Skalarprodukts $a$.

Aus der Galerkin-Orthogonalität von $u-u_h$ mit $V_h$ und der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ergibt sich

$\Vert u-u_h{\Vert }_a^2=a(u-u_h,u-u_h)=a(u-u_h,u-v)\le \Vert u-u_h{\Vert }_a\cdot \Vert u-v{\Vert }_a$ für alle $v$ in $V_h$.

Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm:

$\Vert u-u_h{\Vert }_a\le \Vert u-v{\Vert }_a$ für alle $v$ in $V_h$.

Man beachte, dass die Konstante $\frac{C}{\alpha }$ auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung $u_h$ die beste Approximation der Lösung $u$ bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich $u_h$ als Projektion bezüglich $a$ von $u$ auf den Unterraum $V_h$ interpretieren.

Folgerungen

Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm $\Vert \cdot \Vert$ des Vektorraums $V$ zeigen. Aus

$\alpha \Vert u-u_h{\Vert }^2\le a(u-u_h,u-u_h)=\Vert u-u_h{\Vert }_a^2\le \Vert u-v{\Vert }_a^2\le C\Vert u-v{\Vert }^2$ für alle $v$ in $V_h$

folgt

$\Vert u-u_h\Vert \le \sqrt{\frac{C}{\alpha }}\Vert u-v\Vert$ für alle $v$ in $V_h$.

Beweis

Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.

Galerkin-Orthogonalität

Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung $a(u,v)=L(v)$ für alle $v\in V$ und $a(u_h,v)=L(v)$ für alle $v\in V_h$ werden voneinander abgezogen, was wegen $V_h\subset V$ möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet $a(u-u_h,v)=0$ für alle $v\in V_h$ und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

Abschätzung

Die Bilinearform $a$ ist koerziv

$\alpha \Vert u-u_h{\Vert }^2\le a(u-u_h,u-u_h)$

Addition von 0, sei $v_h\in V_h$

$=a(u-u_h,u-v_h+v_h-u_h)$

Mit Bilinearität von $a$

$=a(u-u_h,u-v_h)+a(u-u_h,v_h-u_h)$

Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da $v:=v_h-u_h\in V_h$

$=a(u-u_h,u-v_h)$

Die Bilinearform $a$ ist stetig

$\le C\Vert u-u_h\Vert \Vert u-v_h\Vert$

Die Gleichung kann durch $\Vert u-u_h\Vert$ geteilt werden. Da $v_h$ beliebig aus $V_h$ gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.

Literatur

• Vorlage:Literatur

• Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, PDF, 5 MB (Original-Arbeit von J. Céa)