Komplementärbasis

Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen orthogonalen Komplements.

Definition

Es seien $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, $U$ ein Untervektorraum von $V$ und $W$ ein durch die Familie bzw. das System $({𝐰}_i{)}_{i=1,\dots ,n},{𝐰}_i\in V$ von Vektoren erzeugter Unterraum von $V$. Dann heißt das System $({𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n)$ Komplementärbasis von $U$ in $V$, falls diese Vektoren eine Basis des orthogonalen Komplements $U^{\perp }:=W$ bilden.

$U^{\perp }$ ist also ein komplementärer Unterraum von $U$ und die Vektoren ${𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n$ bilden dazu eine Basis des orthogonalen Komplements $U^{\perp }$.

Alternative Formulierung für endlich-dimensionale Vektorräume

Seien $a_1,\dots ,a_n$ Skalare aus dem Körper $K$. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Lässt sich ein Element $u\in U$ aus der Linearkombination $a_1\cdot {𝐰}_1+...+a_n\cdot {𝐰}_n=u$ darstellen, so muss folgen, dass $u=0$ und alle Koeffizienten $a_i=0$ (für $i=1,...,n$) sind.
2. Die Vektoren ${𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n$ erzeugen zusammen mit $U$ den Vektorraum $V$.

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren ${𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n$ auch linear unabhängig modulo $U$.)

Eigenschaften

• Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum.

1. Es gilt $V=U\oplus U^{\perp }$, folglich auch $\dim (U^{\perp })=\dim V-\dim U$.
2. Sei $(u_1,\dots ,u_s)$ eine Basis von $U$. Genau dann ist $(v_1,\dots ,v_t)$ eine Komplementärbasis von $U$ in $V$, wenn $(u_1,\dots ,u_s,v_1,\dots ,v_t)$ eine Basis von $V$ ist.

• Jede Folge, die linear unabhängig modulo $U$ ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von $U$ in $V$ ergänzen.

Quellen

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5. und 7.2