Häufigkeitsdaten

In der Statistik bezeichnet man als Häufigkeitsdaten die Zusammenfassung der Ausprägungen $a_1,a_2,\dots ,a_k$ der Werte $x_1,x_2,\dots ,x_n$ eines Merkmals $X$ mit den jeweiligen Häufigkeiten $h_1,h_2,\dots ,h_k$ bzw. $f_1,f_2,\dots ,f_k$.

Erklärung

Sei $h_j=h(a_j)$ die absolute Häufigkeit der Ausprägungen $a_j$ und damit die Anzahl der Werte für die $x_i=a_j$ gilt und sei $f_j=f(a_j)=h_j/n$ die relative Häufigkeit von $a_j$, d. h. der Anteil der Werte für die $x_i=a_j$ gilt. Die absolute Häufigkeitsverteilung $h_1,h_2,\dots ,h_k$ und die relative Häufigkeitsverteilung $f_1,f_2,\dots ,f_k$ fasst man oft in einer Häufigkeitstabelle zusammen. Die Ausprägungen $a_1,a_2,\dots ,a_k$ zusammen mit den Häufigkeiten $h_1,h_2,\dots ,h_k$ bzw. $f_1,f_2,\dots ,f_k$ werden auch als Häufigkeitsdaten bezeichnet.

Anwendungsbeispiele

Arithmetisches Mittel für Häufigkeitsdaten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen $a_1,a_2,\dots ,a_k$ und den dazugehörigen relativen Häufigkeiten $f_1,f_2,\dots ,f_k$ ergibt sich das arithmetische Mittel als

$\bar{x}=a_1{f}_1+a_2{f}_2+\dots +a_k{f}_k=\sum _{j=1}^k{a}_j{f}_j$.

Empirische Varianz für Häufigkeitsdaten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen $a_1,a_2,\dots ,a_k$ und relativen Häufigkeiten $f_1,f_2,\dots ,f_k$ wird die empirische Varianz wie folgt berechnet

${\tilde{s}}^2=\sum _{j=1}^k{(a_j-\bar{x})}^2{f}_j$,

mit $\bar{x}:=\sum _{j=1}^k{f}_j{a}_j=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^k{h}_j{a}_j$,