Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Die gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit verbindet die Begriffe gleichmäßiger und gleichgradiger Stetigkeit.

Seien $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ metrische Räume, sei $F\subset C_b(X,Y)$ eine Teilmenge beschränkter, stetiger Funktionen. Die Funktionenfamilie bzw. Funktionenschar $F$ heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn gilt:

Für alle $\epsilon >0$ existiert ein $\delta >0$, so dass für alle $x,x^{\prime }\in X$ und für alle $f\in F$ gilt:

$d_X(x,x^{\prime })\le \delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\le \epsilon$.

Das heißt, wenn man ein $\epsilon$ vorgibt, findet man ein $\delta$, so dass die Aussage für alle Funktionen der Familie und für alle Punkte des Raumes gilt. $\delta$ hängt also nur von $\epsilon$ ab, weder von $f$ noch von $x$.

Beispiele

• Besitzen alle Funktionen $f\in F$ dieselbe Lipschitzkonstante, so ist die Funktionenfamilie $F$ gleichmäßig gleichgradig stetig.