Ende (Kategorientheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Ende ein spezieller Limes.

Definition

Es seien $𝒞;𝒟$ Kategorien, ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ die zu $𝒞$ duale Kategorie und schließlich $F:{𝒞}^{\text{op}}\times 𝒞\to 𝒟$ ein Funktor.

Ein Ende von $F$ ist ein Paar $(E;\pi )$, bestehend aus einem Objekt $E\in \mathrm{Ob}(𝒟)$ und einer $\mathrm{Ob}(𝒞)$-indizierten Familie von Pfeilen ${\pi }_X:E\to F(X,X)$, Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte $X,Y\in \mathrm{Ob}(𝒞)$ und Morphismen $h\in 𝒞(X,Y)$ das Diagramm

$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{{\pi }_X}{\to }& F(X,X)\\ {\pi }_Y\downarrow & & \downarrow F(X,h)\\ F(Y,Y)& \underset{F(h,Y)}{\overset{}{\to }}& F(X,Y)\end{array}$

kommutiert. (Kurz: $\pi$ ist eine dinatürliche Transformation $\mathrm{\Delta }E\to F$.)

Ein Ende ist zudem universell, das heißt für jedes alternative $E^{\prime }$ mit entsprechenden Projektionen $\pi {\text{'}}_X:E^{\prime }\to F(X,X)$ gibt es einen eindeutig bestimmten Pfeil $k:E^{\prime }\to E$, sodass ${\pi }_X\circ k=\pi {\text{'}}_X$ für alle $X\in \mathrm{Ob}(𝒞)$ gilt.

Notation

Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von $F:{𝒞}^{\text{op}}\times 𝒞\to 𝒟$ ist

$E\cong \underset{X\in 𝒞}{\int }F(X,X)$.

Beispiel

Für lokal kleine Kategorien $𝒞,𝒟$ seien Funktoren $F,G:𝒞\to 𝒟$ gegeben. Die Menge der natürlichen Transformationen von $F$ nach $G$ ist nun gerade ein Ende des Funktors $T:{𝒞}^{\text{op}}\times 𝒞\to 𝐒𝐞𝐭$, der durch $T(X,Y)=𝒟(FX,GY)$ erklärt ist, wobei $𝒟(-,-)$ den Hom-Funktor von $𝒟$ bezeichne.

Obiges Diagramm ist hier

$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{{\pi }_X}{\to }& 𝒟(FX,GX)\\ {\pi }_Y\downarrow & & \downarrow 𝒟(FX,Gh)\\ 𝒟(FY,GY)& \underset{𝒟(Fh,GY)}{\overset{}{\to }}& 𝒟(FX,GY).\end{array}$

Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation $\psi \in E$ eine Komponente ${\psi }_X={\pi }_X(\psi )\in 𝒟(FX,GX)$ zu. Auf der Ebene der Elemente von $E$ sagt das Diagramm also aus, dass für Komponenten ${\psi }_X$ und ${\psi }_Y$

$Gh\circ {\psi }_X={\psi }_Y\circ Fh$

gilt. Die Universalität stellt sicher, dass $E$ alle natürlichen Transformationen enthält.

Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.

Literatur

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Weblinks

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