Dutta-Ray-Lösung

Die Dutta-Ray-Lösung ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Streben eigennutzenmaximierende Individuen als soziales Ziel die Gleichheit an, so ist die Dutta-Ray-Lösung für kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen geeignet. Jede einzelne Koalition strebt dabei das Prinzip der Gleichheit an.

Lorenz-Menge

Die Lorenz-Menge wird mittels der (starken) Lorenz-Dominanz definiert. Dabei werden jene Zuteilungsvektoren verglichen, mittels derer die Lorenz-Kurven berechnet werden. In einem balancierten Spiel $\mathrm{\Gamma }(N,v)$ ist die Lorenz-Menge definiert als:

$LM(v)=\{x\in C(v)|\nexists y\in C(v):y{\succ }_{Lor}x\}.$

Die Lorenz-Menge besteht somit aus allen nicht Lorenz-dominierten Kernzuteilungen. Außerdem ist die Lorenz-Menge eine Teilmenge des Kerns.

Definition Dutta-Ray-Lösung

Für konvexe Spiele $\mathrm{\Gamma }(N,v)$ ist die Lorenz-Menge einelementig, d. h. $|LM(v)|=1$. Dieses Element wird dann auch Dutta-Ray-Lösung genannt. Die Dutta-Ray-Lösung eines konvexen Spiels $\mathrm{\Gamma }(N,v)$ ist gegeben mit:

$DRL(v)=\underset{x\in C(v)}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\sum _{i\in N}{(x_i-\frac{v(N)}{|N|})}^2.$

Somit minimiert die Dutta-Ray-Lösung den euklidischen Abstand zwischen der Gleichverteilung und dem Kern.

Beispiele

Beispiel 1

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels

$S$	$\mathrm{\varnothing }$	$\{A\}$	$\{B\}$	$\{C\}$	$\{A,B\}$	$\{A,C\}$	$\{B,C\}$	$\{A,B,C\}$
$v(S)$	$0$	$200$	$200$	$200$	$700$	$500$	$500$	$1200$

Es handelt sich um ein konvexes Spiel. Ist die Gleichverteilung im Kern des Spieles, so ist es die Dutta-Ray-Lösung. Hier sind die dafür notwendigen Bedingungen mit $x_A=x_B=x_C=400$ erfüllt:

$\begin{array}{cccc}{x}_A,x_B,x_C& \ge & 200& \\ x_A+x_B+x_C& =& 1200& \\ x_A+x_B& \ge & 700& \\ x_A+x_C& \ge & 500& \\ x_B+x_C& \ge & 500& \end{array}$

Beispiel 2

Betrachtet man nun folgende Koalitionsfunktion mit ebenfalls $v(N)=1200$:

$S$	$\mathrm{\varnothing }$	$\{A\}$	$\{B\}$	$\{C\}$	$\{A,B\}$	$\{A,C\}$	$\{B,C\}$	$\{A,B,C\}$
$v(S)$	$0$	$100$	$100$	$100$	$900$	$300$	$300$	$1200$

So kann festgehalten werden, dass dieses Spiel weiterhin konvex ist. Setzt man wieder die Gleichverteilung mit $x_A=x_B=x_C=400$ in die Bedingungen ein:

$\begin{array}{cccc}{x}_A,x_B,x_C& \ge & 100& \\ x_A+x_B+x_C& =& 1200& \\ x_A+x_B& \ge & 900& \\ x_A+x_C& \ge & 300& \\ x_B+x_C& \ge & 300& \end{array}$

ist die dritte Bedingung verletzt, d. h. die Gleichverteilung liegt nicht im Kern des Spieles. Spieler $A$ und $B$ wollen zusammen mindestens eine Auszahlung von $900$ erhalten. Wird diese Auszahlung hälftig unter den beiden Spielern aufgeteilt $x_A=x_B=450$, dann kann Spieler $C$ noch den Rest der Auszahlung der großen Koalition mit $x_C=300$ ($v(N)-x_A-x_B=1200-450-450=300$) erhalten. Somit ist eine Verteilung gefunden, die alle Bedingungen erfüllt. Zudem wird damit offensichtlich, dass es sich um die Dutta-Ray-Lösung handelt.

Literatur

• Bhaskar Dutta, Debraj Ray: A concept of egalitarianism under participation constraints. In: Econometrica, Volume 57, Issue 3, 1989, Vorlage:DOI, S. 615–635.
• Bhaskar Dutta, Debraj Ray: Constrained Egalitarian Allocations. In: Games and Economic Behavior, Volume 3, Issue 4, 1991, Vorlage:DOI, S. 403–422.
• Toru Hokari, Anita van Gellekom: Population monotonicity and consistency in convex games: Some logical relations. In: International Journal of Game Theory, Volume 31, Issue 4, 2002 Vorlage:DOI, S. 593–607.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.