Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit $\alpha$. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

$P_m=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}\frac{M_m}{\rho }=\frac{N_{\mathrm{A}}}{3{\epsilon }_0}\alpha$

Dabei ist

• $P_m$ die molare Polarisation (ihre Einheit ist die eines molaren Volumens, also z. B. m³/mol)
• $M_m$ die molare Masse (in kg/mol)
• $\rho$ die Dichte (in kg/m³)
• $N_{\mathrm{A}}$ die Avogadrokonstante
• ${\epsilon }_0=8,8541878128(13)\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{A}\mathrm{s}}{\mathrm{V}\mathrm{m}}$ die Dielektrizitätskonstante oder Permittivität im Vakuum.

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h., es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation $\overrightarrow{P}$ ist die Summe aller induzierten Dipole ${\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}$ geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

$\overrightarrow{P}=N{\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}$

wobei $N$ die Teilchenzahldichte, $\alpha$ Polarisierbarkeit, ${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}$ lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität $\chi$ bzw. die Permittivitätszahl ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

$\overrightarrow{P}=\chi {\epsilon }_0\overrightarrow{E}=({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}$

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}$

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  ${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}=\overrightarrow{E}$  und daraus:

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1)=\frac{N}{{\epsilon }_0}\alpha$

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}=\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{E}}_{\text{L}}$

$\overrightarrow{E}$: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),

${\overrightarrow{E}}_{\text{L}}=\overrightarrow{P}/(3{\epsilon }_0)$: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}=\overrightarrow{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}+\frac{({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{E}=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}{3}\overrightarrow{E}$

Eingesetzt in obige Gleichung:

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha \frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}{3}\overrightarrow{E}$

Umstellen liefert:

$\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}$

Bzw. nach ${\epsilon }_r$ aufgelöst:

${\epsilon }_{\mathrm{r}}=1+{\chi }_e=1+\frac{3N\alpha }{3{\epsilon }_0-N\alpha }$

Nun kann man noch die Teilchendichte $N$ durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte $\rho$, molare Masse $M_m$ und Avogadrokonstante $N_{\mathrm{A}}$):

$N=\frac{N_A\rho }{M_m}$

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

$\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}\frac{M_m}{\rho }=\frac{N_{\mathrm{A}}}{3{\epsilon }_0}\alpha$

Bzw. nach ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ aufgelöst:

${\epsilon }_{\mathrm{r}}=1+{\chi }_e=1+\frac{3N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }{3M_m{\epsilon }_0-N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }$

Lorentz-Lorenz-Gleichung

Die Lorentz-Lorenz-Gleichung ist eine andere Form der Clausius-Mossotti-Gleichung, die sich aus dieser ergibt, wenn man das Ergebnis der elektromagnetischen Wellengleichung ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=n^2$ einsetzt. Die Lorentz-Lorenz-Gleichung hat ihren Namen von dem dänischen Mathematiker und Wissenschaftler Ludvig Lorenz, selbige 1869 publizierte, und dem holländischen Physiker Hendrik Lorentz, der sie unabhängig davon ableitete und 1878 veröffentlichte.

Die Lorentz-Lorenz-Gleichung lautet demnach:

$\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}$

Die Gleichung ist wie die Clausius-Mossotti-Gleichung auch näherungsweise gültig für homogene Festkörper als auch für Flüssigkeiten.

Für die meisten Gase gilt $n^2\approx 1$, weshalb sich näherungsweise ergibt, dass

$n^2-1\approx \frac{N\alpha }{{\epsilon }_0}$

und mit Hilfe von $n^2-1\approx 2(n-1)$

$n-1\approx \frac{N\alpha }{2{\epsilon }_0}$

Diese Formel ist anwendbar für Gase unter Normaldruck. Der Brechungsindex $n$ des Gases kann dann mit Hilfe der Molrefraction $A$ als

$n\approx \sqrt{1+\frac{3Ap}{RT}}$

ausgedrückt werden, mit dem Druck des Gases $p$, $R$ ist die Gaskonstante, und $T$ die (absolute) Temperatur, die zusammen die Teilchenzahldichte $N$ bestimmen. Dementsprechend gilt $N=N_{\mathrm{A}}\cdot c$, mit $c$ der molaren Konzentration. Setzt man für $n$ den komplexen Brechungsindex $m=n+ik$, mit dem Absorptionsindex $k$, ein, so ergibt sich:

$m\approx 1+c\frac{N_{\mathrm{A}}\cdot \alpha }{2{\epsilon }_0}$

Demgemäß ist der Imaginärteil, also der Absorptionsindex, proportional zur molaren Konzentration

$k\approx c\frac{N_{\mathrm{A}}\cdot {\alpha }^{″}}{2{\epsilon }_0}$

und damit zur Absorbanz. Dementsprechend lässt sich das Beer’sche Gesetz aus der Lorentz-Lorenz-Gleichung ableiten. Die Änderung des Brechungsindex in verdünnten Lösungen ist damit ebenfalls näherungsweise proportional zur molaren Konzentration.

Literatur

• Vorlage:Literatur