Monge-Ampèresche Gleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung, oder Monge-Ampère'sche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in $n$ Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem („problème du remblai-déblai“, etwa: „Problem von Erdaufschüttung und -aushub“) für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen. Die Gleichung ist zusätzlich nach André-Marie Ampère benannt, der sich mit ihr um 1820 befasste.

Mathematische Formulierung

Allgemein hat eine Monge-Ampère'sche Gleichung über einem offenen Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ die Form

$\det D^{2}u=f$

wobei $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, mit $u=u(x_1,\dots ,x_n)$ die unbekannte Funktion ist, $f:\mathrm{\Omega }\times {ℝ}^{n+1}\to ℝ$ eine gegebene Funktion $f=f(x_1,\dots ,x_n,u,u_{x_1},\dots u_{x_n})$, und

$D^{2}u=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{x_1{x}_1}& \cdots & u_{x_1{x}_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ u_{x_n{x}_1}& \cdots & u_{x_n{x}_n}\end{array}\right)\text{mit }{u}_{x_i{x}_j}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}.$

die Hesse-Matrix von $u$. Speziell für den zweidimensionalen Fall $n=2$ ergibt sich die einfache Gestalt

$u_{xx}{u}_{yy}-u_{xy}^2=f$

mit $(x,y)\in \mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ und den Funktionen $u(x,y)$ und $f(x,y,u,u_x,u_y)$. Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampère'sche Gleichung bezeichnet:

$Ar+2Bs+Ct+(rt-s^2)=E,\text{mit }r=u_{xx},s=u_{xy},t=u_{yy},p=u_x,q=u_y,$

wobei $A,B,C$ und $E$ Funktionen von ($x,y,u,p,q$) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit $A=B=C=0$ und $E=f$ die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel

Sei $n=2$ und $f(x,y)=4(1-y^2)(1-x^2)-16x^2{y}^2$. Dann ist $u(x,y)=(1-x^2)(1-y^2)$ eine Lösung der Monge-Ampère'schen Differentialgleichung, denn $u_{xx}=-2(1-y^2),$ $u_{yy}=-2(1-x^2),$ $u_{xy}=u_{yx}=-4xy,$ und daher $\det D^{2}u=\det \left(\begin{array}{cc}-2(1-y^2)& -4xy\\ -4xy& -2(1-x^2)\end{array}\right)=f(x,y).$

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in $n$ Variablen. Erläuterungen:

• „partielle Differentialgleichung“, denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion $u$ gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.

• „voll nichtlinear“, da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von $u$ quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampère'schen Gleichungen, die für $n=2$ die Bedingungen $AC-B^2+E>0$ und $t+A>0$ erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach $f>0$.

Anwendungen

Die meisten Anwendungen der Monge-Ampère'schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampère'sche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampère'schen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampère'schen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli, Alexei Wassiljewitsch Pogorelow, Thierry Aubin, Sébastien Boucksom, Alessio Figalli und Guido de Philippis.

Weblinks

• Vorlage:Webarchiv
• Eintrag in MathWorld (engl.)
• Pogorelov Monge-Ampère equation, Encyclopedia of Mathematics, Springer