Reduktionsverfahren von d’Alembert

Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, das nach dem Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert benannt ist. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung $(n-1)$-ter Ordnung zurückzuführen.

Grob beschrieben, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung $L(y)=f$ zu lösen, beschaffe man sich eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung $L(u)=0$. Dann führt der Ansatz $y(x):=c(x)u(x)$, also die Variation der Konstanten, für die ursprüngliche Gleichung $L(y)=f$ auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung $\tilde{L}(c^{\prime })=f$ der niedrigeren Ordnung $n-1$ für $c^{\prime }(x)$.

Formulierung des Satzes

Man betrachte den Differentialoperator $n$-ter Ordnung

$L(v)(x):=\sum _{k=0}^n{a}_k(x)v^{(k)}(x).$

Hierzu sei eine Lösung $u(x)$ der homogenen linearen Differentialgleichung

$L(u)=0$

bekannt. Für

$y(x):=c(x)u(x)$

gilt dann

$L(y)(x)=\sum _{j=0}^{n-1}[\sum _{k=j+1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j+1})a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)]c^{(j+1)}(x).$

Mit anderen Worten: $y(x)$ löst die inhomogene Differentialgleichung $n$-ter Ordnung $ℒ(y)=f(x)$ genau dann, wenn

$z(x):=c^{\prime }(x)$

die inhomogene lineare Differentialgleichung $(n-1)$-ter Ordnung

$\sum _{j=0}^{n-1}[\sum _{k=j+1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j+1})a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)]z^{(j)}(x)=f(x)$

löst.

Beweis

Nach der leibnizschen Regel gilt

$(c\cdot u{)}^{(k)}(x)=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x),$

also

$\sum _{k=0}^n{a}_k(x)(c\cdot u{)}^{(k)}(x)=\sum _{k=0}^n\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})a_k(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)=\sum _{j=0}^n\sum _{k=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})a_k(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x).$

Hierbei gibt die Doppelsumme ${\sum }_{j=0}^n{\sum }_{k=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})a_k(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)$ an, dass nunmehr über die Ableitungen von $c^{(j)}(x)$ summiert wird.

Nun ist nach Voraussetzung ${\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{0})a_k(x)u^{(k)}(x)=L(u)=0$ und somit entfällt das 0te-Glied in der Summe über $j$, so dass folgt

$L(y)=\sum _{k=0}^n{a}_k(x)(c\cdot u{)}^{(k)}(x)=\sum _{j=1}^n[\sum _{k=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})a_k(x)u^{(k-j)}(x)]c^{(j)}(x).$

Indexverschiebung liefert das Resultat

$L(y)=\sum _{j=0}^{n-1}[\sum _{k=j+1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j+1})a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)]c^{(j+1)}(x)$,

oder unter Verwendung von $z(x)=c^{\prime }(x)$

$L(y)=\sum _{j=0}^{n-1}[\sum _{k=j+1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j+1})a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)]z^{(j)}(x)$.

$◻$

Beispiel

Gegeben sei die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$u^{″}(x)+4u^{\prime }(x)+4u(x)=0$.

Aus der Charakteristischen Gleichung ${\lambda }^2+4\lambda +4=0$ mit der zweifachen Nullstelle ${\lambda }_{1,2}=-2$ ergibt sich eine Lösung $u(x)=e^{-2x}$ der Differentialgleichung. Mithilfe des Reduktionsverfahrens wird die zweite linear unabhängige Lösung unter Verwendung der bereits bekannten Lösung gefunden. Mit dem Ansatz der Variation der Konstanten folgt

$y(x)=c(x)u(x)$

und die gegebene Differentialgleichung erhält folgende Darstellung

$(c^{″}(x)u(x)+2c^{\prime }(x)u^{\prime }(x)+c(x)u^{″}(x))+4(c^{\prime }(x)u(x)+c(x)u^{\prime }(x))+4c(x)u(x)=0$.

Durch Umsortieren der Differentialgleichung nach den Ableitungen von $c(x)$ ergibt sich

$u(x)c^{″}(x)+(2u^{\prime }(x)+4u(x))c^{\prime }(x)+(u^{″}(x)+4u^{\prime }(x)+4u(x))c(x)=0$.

Im dritten Term kommt die Differentialgleichung $u^{″}(x)+4u^{\prime }(x)+4u(x)=0$ zum Ausdruck und entfällt daher. Die Differentialgleichung lautet nun

$u(x)c^{″}(x)+(2u^{\prime }(x)+4u(x))c^{\prime }(x)=0$

und ergibt mit der bereits bekannten Lösung $u(x)=e^{-2x}$ für den zweiten Term $2u^{\prime }(x)+4u(x)=-4e^{-2x}+4e^{-2x}=0$, so dass die Differentialgleichung reduziert wird auf

$u(x)c^{″}(x)=0$.

Da $u(x)$ die Exponentialfunktion repräsentiert, daher überall größer null ist, folgt als Bedingung für die zweite Lösung der Differentialgleichung

$c^{″}(x)=0$.

Durch zweimalige Integration erhalten wir mit den Integrationskonstanten $c_1,c_2$

$c(x)=c_{1}x+c_2$.

Als Ansatz für die zweite Lösung der Differentialgleichung ergibt sich somit

$y(x)=(c_{1}x+c_2)u(x)=c_{1}xu(x)+c_{2}u(x)$.

Da der zweite Term $c_{2}u(x)$ lediglich ein skalares Vielfaches der ersten Lösung ist, und somit linear abhängig ist, lautet die zweite Lösung der Differentialgleichung, unter Auslassung der Integrationskonstante

$y(x)=xu(x)=x{e}^{-2x}.$

Abschließend kann mit der Wronski-Determinante die lineare Unabhängigkeit der beiden Lösungen nachgewiesen werden

$W(u,y)(x)=\left|\begin{array}{cc}u& xu\\ u^{\prime }& u+x{u}^{\prime }\end{array}\right|=u(u+x{u}^{\prime })-xu{u}^{\prime }=u^2=e^{-4x}\ne 0.$

Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Sei $u(x)$ Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

$u^{″}(x)+p(x)u^{\prime }(x)+q(x)u(x)=0.$

Dann ist

$y(x):=c(x)u(x)$

Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

$y^{″}(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=f(x)$

genau dann, wenn

$z(x):=c^{\prime }(x)$

der Gleichung

$u(x)z^{\prime }(x)+(p(x)u(x)+2u^{\prime }(x))z(x)=f(x)$

genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.

Beweis

Sei die inhomogene lineare Differentialgleichung

$y^{″}(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=f(x)$

gegeben, deren Lösung $u(x)$ für die homogene Differentialgleichung bekannt ist. Dann ergibt sich die Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung unter Verwendung des Ansatzes der Variation der Konstanten durch

$y(x)=c(x)u(x)$,

wobei $c(x)$ eine beliebige Funktion ist. Somit ist

$y^{\prime }(x)=c^{\prime }(x)u(x)+c(x)u^{\prime }(x)$

und

$y^{″}(x)=c^{″}(x)u(x)+2c^{\prime }(x)u^{\prime }(x)+c(x)u^{″}(x)$.

Daraus folgt

$(c^{″}(x)u(x)+2c^{\prime }(x)u^{\prime }(x)+c(x)u^{″}(x))+p(x)(c^{\prime }(x)u(x)+c(x)u^{\prime }(x))+q(x)c(x)u(x)=f(x)$

und durch umsortieren nach den Ableitungen von $c(x)$

$u(x)c^{″}(x)+(p(x)u(x)+2u^{\prime }(x))c^{\prime }(x)+(u^{″}(x)+p(x)u^{\prime }(x)+q(x)u(x))c(x)=f(x)$.

Da $u(x)$ eine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist, also $u^{″}(x)+p(x)u^{\prime }(x)+q(x)u(x)=0$, lässt sich die inhomogene Differentialgleichung um diesen Term reduzieren und es gilt

$u(x)c^{″}(x)+(p(x)u(x)+2u^{\prime }(x))c^{\prime }(x)=f(x)$.

Damit ist eine Reduktion der Ordnung der inhomogenen Differentialgleichung erreicht. Dies wird ersichtlich wenn $z(x)=c^{\prime }(x)$ eingeführt wird, so dass gilt

$u(x)z^{\prime }(x)+(p(x)u(x)+2u^{\prime }(x))z(x)=f(x)$.

Division durch $u(x)\ne 0$ liefert

$z^{\prime }(x)+(p(x)+\frac{2u^{\prime }(x)}{u(x)})z(x)=\frac{f(x)}{u(x)}$.

Die weitere Berechnung erfordert den integrierenden Faktor

$\mu (x)=e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}(\frac{2u^{\prime }(t)}{u(t)}+p(t))\mathrm{d}t}=e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}(\log u^2(t)+p(t))\mathrm{d}t}=e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}(\frac{\mathrm{d}\log u^2(t)}{\mathrm{d}t}+p(t))\mathrm{d}t}=e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}\mathrm{d}\log u^2(t)}{e}^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}p(t))\mathrm{d}t}=u^2(x)e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}p(t)\mathrm{d}t}$,

wobei $\mathrm{d}\log u^2(t)$ ein totales Differential darstellt und die untere Integrationsgrenze $a$ geeignet zu wählen ist. Nach der Multiplikation mit dem integrierenden Faktor, nimmt die inhomogene Differentialgleichung folgende Gestalt an

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(z(x)u^2(x)e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}p(t)\mathrm{d}t})=u(x)f(x)e^{\underset{a}{\overset{x}{\int }}p(t)\mathrm{d}t}$.

Nach Integration dieser Gleichung folgt $z(x)$ und damit eine Lösung für $c^{\prime }(x)$. Eine weitere Integration von $c^{\prime }(x)$ ergibt, unter Auslassung der Integrationskonstanten, die gesuchte Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

$y(x)=c(x)u(x)$.

Beispiel

Betrachtet wird die homogene Differentialgleichung mit nicht-konstanten Koeffizienten

$v^{″}(x)-2x{v}^{\prime }(x)-2v(x)=0$.

Eine Lösung dieser homogenen Differentialgleichung ist $u(x)=e^{x^2}$. Der Ansatz der Variation der Konstanten $y(x)=c(x)e^{x^2}$ liefert nun

$((2+4x^2)e^{x^2}c(x)+2x{e}^{x^2}{c}^{\prime }(x)+e^{x^2}{c}^{″}(x))-2x(2x{e}^{x^2}c(x)+e^{x^2}{c}^{\prime }(x))-2e^{x^2}c(x)=0$

und nach umsortieren nach Ableitungen von $c(x)$

$e^{x^2}(c^{″}(x)+2x{c}^{\prime }(x))=0$.

Da $e^{x^2}\ne 0$ und $z(x)=c^{\prime }(x)$ ist, kann die homogene Differentialgleichung umgeformt werden zu

$\frac{z^{\prime }(x)}{z(x)}+2x=0$

und damit

$\frac{\mathrm{d}\log z(x)}{\mathrm{d}x}=-2x$

oder

$z(x)=e^{-x^2}$.

Daher ist die zweite Lösung der homogenen Differentialgleichung gegeben durch $c(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}z(t)\mathrm{d}t$, also

$c(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{erf}(x)$.

Hierbei bedeutet $\mathrm{erf}(x)$ die Gaußsche Fehlerfunktion.

Literatur

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