Elementargebiet

Ein Gebiet $D\subseteq ℂ$ heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf $D$ holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf $D$ gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet $D$:

• $D$ ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in $D$ ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass $D$ keine Löcher hat.
• $D$ ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in $D$ ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in $D$.
• $D$ ist konform äquivalent zu ganz $ℂ$ oder zur Einheitskreisscheibe $𝔼$, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von $D$ zu $ℂ$ oder zu $𝔼$, vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Eigenschaften

• Sind $A$ und $B$ Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch $A\cup B$ ein Elementargebiet.
• Ist $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Elementargebieten, für die $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \dots$ gilt, so ist auch ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$ ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

• $ℂ$ und $𝔼$
• jedes Sterngebiet
• die geschlitzte Ebene $ℂ\setminus \{z\in ℝ:z\le 0\}$

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

• $ℂ\setminus \{0\}$

Literatur

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4