Lokale Messbarkeit

In der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, ist lokale Messbarkeit eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

Definition

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ ein Maßraum und $(S,ℬ)$ ein Messraum. Eine Abbildung $f:\mathrm{\Omega }\to S$ heißt lokal messbar, falls für jedes $A\in 𝒜$ mit $\mu (A)<\mathrm{\infty }$ die Abbildung $f{|}_A:(A,𝒜\cap A)\to (S,ℬ)$ messbar ist, d. h. falls für jedes $B\in ℬ$ stets $f^{-1}(B)\cap A\in 𝒜$ ist.

Eigenschaften

• Jede messbare Funktion ist auch lokal messbar.
• Ist $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ ein σ-endlicher Maßraum, so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.

Literatur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.