Sierpinski-Kurve

Sierpiński-Kurve 1. Ordnung

Sierpiński-Kurven
1. und 2. Ordnung

Sierpiński-Kurven
1. bis 3. Ordnung

Die Sierpiński-Kurven sind eine rekursiv definierte Folge von stetigen geschlossenen fraktalen Kurven. Die Sierpiński-Kurve ist ein Beispiel für eine raumfüllende Kurve, die im Übergang $n\to \mathrm{\infty }$ das Einheitsquadrat vollständig ausfüllt. Sie wurden 1912 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński definiert.

Eigenschaften

• Der Grenzwert der von der Sierpiński-Kurve umschlossenen Fläche ist $\frac{5}{12}$ (in euklidischer Metrik).
• Die euklidische Länge der Kurve $S_n$ wächst exponentiell mit $n$: $l_n=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})2^n-\frac{1}{3}(2-\sqrt{2})\frac{1}{2^n}$.
• Da die Kurve raumfüllend ist, hat sie im Grenzwert die Hausdorff-Dimension $2$.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Interaktive Demonstration der Sierpinski-Kurve.