Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge $\{a,b\}$ definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf $\{0,1\}$ definiert ist.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ auf $\{a,b\}$ mit $a<b$ heißt zweipunktverteilt, wenn

$P(X=a)=1-p\text{ und }P(X=b)=p$ ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

$F_X(t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ falls }t<a\\ 1-p& \text{ falls }t\in [a,b)\\ 1& \text{ falls }t\ge b\end{array}$

Eigenschaften

Sei im Folgenden $q=1-p$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

$E(X)=(1-p)\cdot a+p\cdot b=q\cdot a+p\cdot b$.

Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

$V(X)=E((X-E(X){)}^2)=p\cdot q\cdot (b-a{)}^2$.

Demnach ist die Standardabweichung

${\sigma }_X=(b-a)\sqrt{pq}$

und der Variationskoeffizient

$\mathrm{VarK}(X)=\frac{(b-a)\sqrt{pq}}{qa+pb}$.

Symmetrie

Ist $p=\frac{1}{2}$, so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

$\mathrm{v}(X)=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}$.

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

$\gamma (X)=\frac{1-6pq}{pq}$

und damit ist die Wölbung

${\beta }_2(X)=\frac{1-3pq}{pq}$.

Höhere Momente

Die $k$-ten Momente ergeben sich als

$\mathrm{E}(X^k)=q{a}^k+p{b}^k$.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

$x_D=\{\begin{array}{cc}a& \text{falls }q>p\\ a\text{ und }b& \text{falls }q=p\\ b& \text{falls }q<p\end{array}$

Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

$\tilde{m}=\{\begin{array}{cc}a& \text{falls }q\ge p\\ b& \text{falls }q<p\end{array}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind $a,b\in {\mathbb{N}}_0$, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

$m_X(t)=q{t}^a+p{t}^b$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges $a,b\in ℝ$ gegeben als

$M_X(t)=q{e}^{at}+p{e}^{bt}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges $a,b\in ℝ$ gegeben als

${\phi }_X(t)=q{e}^{iat}+p{e}^{ibt}$.

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert $m$, Standardabweichung $s$ und Schiefe $t$ vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

$p=(1+t/\sqrt{4+t^2})/2,$

$q=1-p,$

$a=m-s\cdot \sqrt{q/p},$

$b=m+s\cdot \sqrt{p/q}.$

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für $p\in (0,1)$ nicht reproduktiv. Das heißt, wenn $X_1,X_2$ zweipunktverteilt sind, dann ist $X_1+X_2$ nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit $p=1$ (bzw. $q=1$). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf $b$ (bzw. auf $a$), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf $\{0,1\}$ ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q=\frac{1}{2}$.

Literatur

• Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
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