Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $\psi$ durch ihren Betrag $\rho$ und ihre Phase $S$ gemäß $\psi =\sqrt{\rho }{e}^{\frac{i}{\hslash }S}$, so erhält man die Madelunggleichungen:

1. ${\partial }_t\rho +\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }(\rho \mathrm{\nabla }S)=0$
   
2. ${\partial }_{t}S+\frac{1}{2m}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+V(x)-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{\mathrm{\Delta }\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}=0,$

wobei $V$ das Potential aus der Schrödingergleichung ist.

Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

Interpretation

$S$ wird als Wirkung interpretiert, $\mathrm{\nabla }S$ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:

1. ${\partial }_t{\rho }_m+\mathrm{\nabla }\cdot ({\rho }_m\overrightarrow{v})=0,$
2. $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}={\partial }_t\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}=-\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }(Q+V),$

wobei

• $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)=\mathrm{\nabla }S/m$ (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. $\mathrm{\nabla }S=m\cdot \overrightarrow{v}$ (Impuls)
  ​
• ${\rho }_m=m\rho =m|\psi {|}^2$ (Massedichte) mit Normierungsbedingung $\int \rho (\overrightarrow{x},t)d^{3}x=1$ bzw. $\int {\rho }_m(\overrightarrow{x},t)d^{3}x=m$ zu jeder Zeit $t$
• $Q=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{{\rho }_m}}{\sqrt{{\rho }_m}}$ (Bohmsches Quantenpotential).

Bedeutung

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Siehe auch

• De-Broglie-Bohm-Theorie

Literatur

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