Satz von Binet-Cauchy

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix $C$. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung $C=A\cdot B$ bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn $A$ und $B$ quadratisch sind.

Satz

Sind $A$ eine $n\times m$-Matrix und $B$ eine $m\times n$-Matrix, dann berechnet sich die Determinante von $A\cdot B$ durch Aufsummieren aller Produkte aus je einem $n$-dimensionalen Minor von $A$ und $B$:

$\det (A\cdot B)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subseteq \{1,2,\dots ,m\}}{|S|=n}}\det (A_S)\det (B_S)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subseteq \{1,2,\dots ,m\}}{|S|=n}}\det (A_S\cdot B_S)$

Die Untermatrizen $A_S$ und $B_S$ ergeben sich aus den Matrizen $A$ und $B$ wenn nur die Spalten aus $A$ bzw. Zeilen aus $B$ verwendet werden, deren Nummern in $S$ vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist $n>m$, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt $\det (A\cdot B)=0$.

Gilt $A,B\in {ℝ}^{n\times n}$, dann gibt es genau eine Teilmenge $S=\{1,2,\dots ,n\}$ und es gilt $\det (A\cdot B)=\det (A)\cdot \det (B)$.

Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix $C$ mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

$C=\left(\begin{array}{cc}58& 64\\ 139& 154\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right)=A\cdot B$.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

$\det (C)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subseteq \{1,2,3\}}{|S|=2}}\det (A_S)\det (B_S)$

$=\det (A_{\{1,2\}})\cdot \det (B_{\{1,2\}})+\det (A_{\{2,3\}})\cdot \det (B_{\{2,3\}})+\det (A_{\{1,3\}})\cdot \det (B_{\{1,3\}})$

$=\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right)\cdot \det \left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\end{array}\right)+\det \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right)\cdot \det \left(\begin{array}{cc}9& 10\\ 11& 12\end{array}\right)+\det \left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right)\cdot \det \left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 11& 12\end{array}\right)$

$=(-3)\cdot (-2)+(-3)\cdot (-2)+(-6)\cdot (-4)$

$=36$.

Literatur

• Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29
• Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov: Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9, §2.9 (S. 68) & §10.5 (S. 377)