Quasikonforme Abbildung

In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

Definition

Seien $G$ und $H$ zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

$f:G⟶H$

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl $k$ kleiner 1 gibt, so dass

$\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{\infty }}<k$

gilt. Dabei ist

$\mu =\frac{f_{\overline{z}}}{f_z}=\frac{{\partial }_{\overline{z}}f}{{\partial }_{z}f}$

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

$K(z)=\frac{1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}.$

Das Supremum

$K=\underset{z\in D}{\sup }|K(z)|=\frac{1+\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{1-\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{\infty }}}$

ist die Dilatation von f.

Beltrami-Gleichung

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

${\partial }_{\overline{z}}f=\mu (z){\partial }_{z}f,$

wobei $\mu (z)$ eine integrierbare Funktion mit $\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{\infty }}<k$ ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Hauptsatz

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

Literatur

• C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
• V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
• A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, Vorlage:DOI, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, Vorlage:DOI, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085