Neunerrest

Der Neunerrest einer ganzen Zahl $n\in \mathbb{Z}$ ist der Rest $\in {\mathbb{N}}_0$, den sie bei Division durch 9 lässt, also eine der neun natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8.

$\text{Neunerrest von }n=nmod9\in {\mathbb{N}}_0$

Dabei ist $\mathrm{mod}$ die Modulo-Funktion, die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von $n:9$.

Dass diesem Divisionsrest ein eigener Name zugesprochen wurde, rührt von seiner Bedeutung für die sogenannte Neunerprobe her.

Berechnung

Um den Neunerrest einer natürlichen Zahl $n\in {\mathbb{N}}_0$ zu ermitteln, berechnet man zuerst die dezimale Quersumme $q(n)$ dieser Zahl, anschließend die Quersumme dieser Quersumme, also $q(q(n))$, und so weiter, bis die iterierte Quersumme $q(\dots q(q(n))\dots )$ einstellig ist. Falls sich dabei 9 ergibt, wird 9 durch 0 ersetzt, denn der Neunerrest von 9 ist wegen $9=1\cdot 9+0$ („9 dividiert durch 9 ist gleich 1, Rest 0“) nicht gleich 9, sondern gleich 0.

Dieser Berechnungsweg des Neunerrests lässt sich auch auf negative Zahlen ausdehnen, indem man für die Quersumme die Beziehung

$q(-n)=-q(n)$

heranzieht. Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste in positive Reste überführen, indem man (gegebenenfalls auch mehrmals) 9 addiert. Somit kann eine Verallgemeinerung der Neunerrest-Berechnung auf die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ erreicht werden.

Beispiele

• n = 5387: q(5387) = 5 + 3 + 8 + 7 = 23; q(23) = 2 + 3 = 5. Der Neunerrest von 5387 ist 5.
• n = 5643: q(5643) = 5 + 6 + 4 + 3 = 18; q(18) = 1 + 8 = 9. Der Neunerrest von 5643 ist 0.
• n = –418: q(–418) = –q(418) = –(4 + 1 + 8) = –13; q(–13) = –q(13) = –(1 + 3) = –4; negatives Ergebnis, also 9 hinzuaddieren: –4 + 9 = 5. Der Neunerrest von –418 ist 5.
• n = +418: q(418) = 4 + 1 + 8 = 13; q(13) = 1 + 3 = 4. Der Neunerrest von +418 ist hingegen 4.

Eigenschaften

Satz

Es gilt, dass stets eine (ohne Rest) durch 9 teilbare Zahl entsteht, wenn man von einer natürlichen Zahl $n$ deren Quersumme $q(n)$ subtrahiert:

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0:\frac{n-q(n)}{9}\in {\mathbb{N}}_0$

Beispiel 1

$\frac{23456789-q(23456789)}{9}=\frac{23456789-(2+3+4+5+6+7+8+9)}{9}=\frac{23456789-44}{9}=\frac{23456745}{9}=2606305$

Herleitung

Mit der dezimalen Zifferndarstellung

$n=\sum _{k=0}^{m-1}10^k\cdot z_k=z_0+10\cdot z_1+100\cdot z_2+\cdots +10^{m-1}\cdot z_{m-1}$

und der Quersumme

$q(n)=\sum _{k=0}^{m-1}{z}_k=z_0+z_1+z_2+\cdots +z_{m-1}$

einer m-stelligen natürlichen Zahl $n$ ergibt sich

$\begin{array}{cc}n-q(n)& =\sum _{k=0}^{m-1}10^k\cdot z_k-\sum _{k=0}^{m-1}{z}_k\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}(10^k\cdot z_k-z_k)\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}(10^k-1)\cdot z_k\\ & =0\cdot z_0+9\cdot z_1+99\cdot z_2+999\cdot z_3+\cdots +(10^{m-1}-1)\cdot z_{m-1}.\end{array}$

Hieraus folgt nach Division durch 9

$\frac{n-q(n)}{9}=\sum _{k=1}^{m-1}{R}_k\cdot z_k=1\cdot z_1+11\cdot z_2+111\cdot z_3+\cdots +R_{m-1}\cdot z_{m-1}.$

Dabei ist

$R_k:=\frac{10^k-1}{9}=\frac{\stackrel{k\text{ Ziffern}}{\overbrace{99\dots 9}}}{9}=\stackrel{k\text{ Ziffern}}{\overbrace{11\dots 1}}$, mit $k\in \mathbb{N}$,

die $k$-te Repunit (im Dezimalsystem), ihre $k$ Ziffern sind alle gleich 1.

Beispiel 2

Bei $n=5432$ ist $z_0=2$, $z_1=3$, $z_2=4$ und $z_3=5$. 5 ist also tausendmal, 4 hundertmal, 3 zehnmal und 2 einmal enthalten. Zieht man die Quersumme ab, bleiben $999\cdot 5$, $99\cdot 4$, $9\cdot 3$ und $0\cdot 2$ übrig, was offensichtlich sowohl einzeln als auch in Summe ohne Rest durch 9 teilbar ist:

$5432-5-4-3-2=\sum _{k=0}^3(10^k-1)\cdot z_k=0\cdot 2+9\cdot 3+99\cdot 4+999\cdot 5=9\cdot (1\cdot 3+11\cdot 4+111\cdot 5)=9\cdot 602$

Andere Stellenwertsysteme

Das oben beschriebene Verfahren zur Ermittlung des Neunerrests ist nur im Dezimalsystem gültig. Für andere Stellenwertsysteme gibt es aber eine analoge Regel: An die Stelle von 9 tritt dort die größte Ziffer des Systems, also die um 1 verminderte Basis des Stellenwertsystems. Im Hexadezimalsystem wird daher mit F₁₆ (= dezimal 15) gerechnet, im Oktalsystem mit 7₈. Man spricht dann vom hexadezimalen „F-Rest“ oder 15er-Rest bzw. vom oktalen 7er-Rest.

Beispiele im Hexadezimalsystem

• n = AD37E9: q(AD37E9) = A + D + 3 + 7 + E + 9 = 38; q(38) = 3 + 8 = B. Der hexadezimale „F-Rest“ (auch 15er-Rest genannt) von AD37E9 ist gleich B.
• n = 210F84: q(210F84) = 2 + 1 + 0 + F + 8 + 4 = 1E; q(1E) = 1 + E = F; aus F wird 0. Der hexadezimale „F-Rest“ von 210F84 ist gleich 0.

Beispiele im Oktalsystem

• n = 17365: q(17365) = 1 + 7 + 3 + 6 + 5 = 26; q(26) = 2 + 6 = 10; q(10) = 1 + 0 = 1. Der oktale 7er-Rest von 17365 ist gleich 1.
• n = 52016734: q(52016734) = 5 + 2 + 0 + 1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 34; q(34) = 3 + 4 = 7; aus 7 wird 0. Der oktale 7er-Rest von 52016734 ist gleich 0.

Siehe auch

• Neuner- und Elferprobe
• Quersumme
• Division mit Rest
• Liste von Operatoren für den Rest einer Division
• Teilbarkeit
• Kongruenz