Napoleon-Dreieck

Das Napoleon-Dreieck, benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte, ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie. Er bezeichnet zwei spezielle gleichseitige Dreiecke, die einem beliebigen Dreieck zugeordnet sind.

Definition

Über den Seiten eines gegebenen beliebigen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke $△ B C P_{a}$ , $△ A C P_{b}$ und $△ A B P_{c}$ nach außen gerichtet gezeichnet und in diesen jeweils ihre Geometrischen Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ eingetragen. Das (äußere) Napoleon-Dreieck $△ O_{a} O_{b} O_{c}$ entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte. Zeichnet man die drei gleichseitigen Dreiecke nach innen anstatt nach außen, so bilden deren Schwerpunkte $O'_{a}, O'_{b}, O'_{c}$ das innere Napoleon-Dreieck $△ O'_{a} O'_{b} O'_{c}$ .^[1]^[2]

Das Napoleon-Dreieck ist – unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks – stets gleichseitig, diese Aussage wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet.^[3]

Es gibt keine bekannten Hinweise, dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde. In der Zeitschrift The Ladies’ Diary wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwähnt.^[4]^[3]

Eigenschaften

Schwerpunkte von Teildreiecken

Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.^[5]

Flächeninhalte von Teildreiecken

Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren Napoleon-Dreiecks und des inneren Napoleon-Dreiecks, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks $A B C$ , es gilt also:^[2]

| △ O_{a} O_{b} O_{c} | - | △ O'_{a} O'_{b} O'_{c} | = | △ A B C |

Dabei gilt für die Flächeninhalte der Napoleon-Dreiecke:^[1]

\begin{matrix} | △ O_{a} O_{b} O_{c} | & - \frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{24} + \frac{1}{2} | △ A B C | \\ | △ O'_{a} O'_{b} O'_{c} | & = \frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{24} - \frac{1}{2} | △ A B C | \end{matrix}

Entstehung von Sechsecken

Setzt man die an einer Seite des Dreiecks $A F B$ angefügte Figur $A B E C D$ auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks $A F B$ an (Figur 1), so entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken (Figur 2). Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks $P Q R S T U$ , dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt $V$ des Napoleon-Dreiecks $G H K$ schneiden.

Parkettierung

Das unregelmäßige Sechseck (Figur 3) setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur $A F B E C D$ , wobei das innere Dreieck $A B C$ insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren (Figur 4).^[6]

(Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet.)

Figur 3: Unregelmäßiges Sechseck (Parkett-Detail)
Figur 4: Parkettierung mit Napoleon-Figuren

Folgerung

Die Seiten eines Dreiecks $A B C$ seien in jeweils drei gleichlange Abschnitte unterteilt. Über jedem der drei mittleren Abschnitte sei ein gleichseitiges Dreieck außerhalb von $A B C$ errichtet. Dann bilden die Eckpunkte $D$ , $E$ und $F$ dieser gleichseitigen Dreiecke, die nicht auf den Seiten von $A B C$ liegen, ein weiteres gleichseitiges Dreieck. (Figur 5)

Beweis:

Die äußeren Eckpunkte der gelben gleichseitigen Dreiecke sind gleichzeitig Schwerpunkte der Dreiecke über den Seiten von

A B C

. Deshalb ist das rot umrandete Dreieck das zu

A B C

gehörige Napoleon-Dreieck und damit gleichseitig. (Figur 6)^[7]

Verallgemeinerung

Ersetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ähnliche gleichschenklige Dreiecke, so spricht man von einem Kiepert-Dreieck.

Siehe auch

Literatur

Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65
Ilya Belenkiy: New Features of Napoleon Triangles. In: Journal of Geometry,. Band 66, Heft 1, November 1999, S. 17–26.
Dominik Wrazidlo, Manuel Plate: Napoleon auf der Spur. Spitzendreiecke mit konstanen Innenwinkeln. Junge Wissenschaft, Band 89, 2011, S. 16–22 (Digitalisat)
Stan Dolan: Triangles around a given triangle. In: The Mathematical Gazette, Vol. 99, No. 546, November 2015, S. 432–443 (JSTOR)
Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann: The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012, Kapitel 7 Areas of and within triangles

Weblinks

Napoleon-Dreieck – eine Visualisierung mit dem dynamischen Geometrieprogramm GeoGebra
Vorlage:MathWorld
Vorlage:MathWorld

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Martin J. Erickson: Aha! Solutions. MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-829-5, S. 49–51
↑ ^2,0 ^2,1 Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65
↑ ^3,0 ^3,1 Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)
↑ Vorlage:Internetquelle
↑ John Baker: Geometry and vectors. In: Australian Senior Mathematics Journal, 2001, Band 15 Ausgabe 2, S. 19–28
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279

[Erickson-1] 1,0 ^1,1 Martin J. Erickson: Aha! Solutions. MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-829-5, S. 49–51

[Coxeter-2] 2,0 ^2,1 Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65

[bg-3] 3,0 ^3,1 Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)

[4] Vorlage:Internetquelle

[5] John Baker: Geometry and vectors. In: Australian Senior Mathematics Journal, 2001, Band 15 Ausgabe 2, S. 19–28

[6] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91

[7] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Napoleon-Dreieck

Inhaltsverzeichnis

Definition