Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.

Definition

Eine $k$-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu $B^k:=[0,1{]}^k$ homöomorph ist. Eine offene $k$-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von $B^k$ homöomorph ist. $k$ nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum $X$, der in offene Zellen $(c_i{)}_{i\in I}$ zerfällt, wobei gilt:

1. zu jeder $k$-Zelle $c_i\subseteq X$ existiert eine stetige Abbildung $f_i:B^k\to X$ so dass das Innere von $B^k$ homöomorph auf $c_i$ und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension $<k$ abgebildet wird. ($f_i$ heißt die charakteristische Abbildung der Zelle $c_i$.)
2. $M\subseteq X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M\cap f_i(B^k)$ für alle $i\in I$ abgeschlossen ist.

Das $k$-Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen $\le k$.

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

• Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
• Jede offene sternförmige Teilmenge des ${ℝ}^k$ ist ein k-Zelle.
• $ℝ$ ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen $c_i=(i,i+1)$ und die charakteristischen Abbildungen $f_i:[0,1]\to ℝ,x\mapsto i+x$.

Zelluläre Abbildungen

Das $n$-Gerüst $K_n$ eines CW-Komplexes $K$ ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension $\le n$.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung $f:K\to L$, die jede $n$-Zelle von $K$ in das $n$-Gerüst von $L$ abbildet. (Dabei müssen $n$-Zellen nicht notwendig auf $n$-Zellen abgebildet werden.)

Siehe auch

• Abstrakter Zellkomplex

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
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