Satz von Ceva

Satz von Ceva
$O=AD\cap CF\cap BE\Rightarrow \frac{|AF|\cdot |BD|\cdot |CE|}{|AE|\cdot |BF|\cdot |CD|}=1$

Satz von Ceva mit parallelen Geraden
$O=AD\parallel CF\parallel BE\Rightarrow \frac{|AF|\cdot |BD|\cdot |CE|}{|AE|\cdot |BF|\cdot |CD|}=1$

Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Ecktransversalen im Dreieck, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. Der Satz wurde allerdings bereits im 11. Jahrhundert durch den Mathematiker und Emir von Zaragossa Yusuf al-Mutaman beschrieben.

In einem Dreieck $ABC$ seien $AD$, $BE$ und $CF$ drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt $O$ innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt:

$TV(A,B,F)\cdot TV(B,C,D)\cdot TV(C,A,E)=1$

Hierbei ist $TV(U,V,W)$ das (orientierte, also eventuell negative) Teilverhältnis von $U,V,W$, was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte $U,V,W$ mit $W\ne V$ definiert wird durch $\overrightarrow{UW}=TV(U,V,W)\cdot \overrightarrow{WV}$. Wenn $W$ zwischen $U$ und $V$ liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich $\overline{UW}/\overline{WV}$, andernfalls gleich $-\overline{UW}/\overline{WV}$.

Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen.

Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden $AD$, $BE$ und $CF$ in einem Punkt schneiden oder parallel sind. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich „Ausgezeichnete Punkte im Dreieck“ verwendet.

Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch:

$\overline{AF}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{CE}=\overline{AE}\cdot \overline{BF}\cdot \overline{CD}$

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Menelaos.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh.

Formuliert man den Satz von Ceva für die reelle projektive Ebene beziehungsweise für den projektiven Abschluss der hier verwendeten (affinen) reellen Anschauungsebene, so kann man den Satz und seine Umkehrung ohne den Sonderfall der parallelen Geraden formulieren.

Siehe auch

• Cevasche Strecken

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81.
• Branko Grunbaum, G. C. Shephard: Ceva, Menelaus, and the Area Principle. Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4, Okt. 1995, S. 254–268 (Vorlage:JSTOR).
• James E. Lightner: A New Look at Centers of a Triangle. The Mathematics Teacher, Band 68, Nr. 7, Nov. 1975, S. 612–615 (Vorlage:JSTOR).

Weblinks

• Ceva's theorem auf cut-the-knot.org
• Jürgen Richter-Gebert: Meditations on Ceva’s Theorem
• Paul Yiu: Euclidean Geometry Notes. Skript, Florida Atlantic University, S. 87–102