Gergonne-Punkt

Gergonne-Punkt G

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer $X_7$.

Definition

Der Inkreis eines Dreiecks $ABC$ berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten $X$, $Y$ und $Z$. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt $G$, schneiden. Das Dreieck $XYZ$ wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten ($\overline{AZ}=\overline{AY}$, $\overline{BX}=\overline{BZ}$, $\overline{CY}=\overline{CX}$) und dem Satz von Ceva.

Eigenschaften

Gemeinsame Gerade g von Gergonne-Punkt G, Mittenpunkt M und Schwerpunkt S

• Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden. Dabei gilt $\overline{GS}:\overline{SM}=2:1$.
• Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts ($X_7$) sind (gleichwertig)

$\frac{bc}{b+c-a}:\frac{ca}{c+a-b}:\frac{ab}{a+b-c}$ oder

${\sec }^2\frac{\alpha }{2}:{\sec }^2\frac{\beta }{2}:{\sec }^2\frac{\gamma }{2}.$

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

$\frac{1}{b+c-a}:\frac{1}{c+a-b}:\frac{1}{a+b-c}$ oder

$\tan \frac{\alpha }{2}:\tan \frac{\beta }{2}:\tan \frac{\gamma }{2}.$

Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks und $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Größen der Innenwinkel.

Literatur

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.