Harmonische Funktion

Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Definition

Sei $U\subseteq {ℝ}^n$ eine offene Teilmenge. Eine Funktion $f:U\to ℝ$ heißt harmonisch in $U$, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle $x\in U$

$\mathrm{\Delta }f(x)=0$

gilt. Dabei bezeichnet $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}$ den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion $f:U\to ℝ$ ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

$f(x)=\frac{1}{r^{n-1}{\omega }_{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }f(y)\mathrm{d}\sigma (y)$

für alle Kugeln $B(x,r)$ mit $\bar{B}(x,r)\subset U$. Hierbei bezeichnet ${\omega }_{n-1}$ den Flächeninhalt der $(n-1)$-dimensionalen Einheitssphäre (siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphäre).

Weitere Eigenschaften

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

• Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes $U$ nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss $\bar{U}$, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand $\partial U$ angenommen.
• Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
• Abschätzung der Ableitungen: Sei $f$ harmonisch in $U$. Dann gilt für die Ableitungen
  $|D^{\alpha }f(x)|\le \frac{{(2^{n+1}n|\alpha |)}^{|\alpha |}}{v_n}{\Vert f\Vert }_{L^1(B(x,r))},$
  wobei $v_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
• Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
• Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ ist konstant.
• Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge $V\subset \subset U$ gibt es eine Konstante $C\ge 0$, die nur von dem Gebiet $V$ abhängt, so dass für jede in $U$ harmonische und nichtnegative Funktion $f$
  $\underset{V}{\sup }f\le C\underset{V}{\inf }f$
  gilt.
• Im Sonderfall $n=2$ für ein einfach zusammenhängendes Gebiet $U\subset {ℝ}^2\cong ℂ$ können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
• Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Beispiel

Die Grundlösung

$S(x):=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{2\pi }\ln |x|,& n=2,\\ \frac{1}{(n-2){\omega }_n}\frac{1}{\Vert x{\Vert }^{n-2}},& n\ge 3,\end{array}$

ist eine auf ${ℝ}^n\setminus \{0\}$ harmonische Funktion, worin ${\omega }_n$ das Maß der Einheitssphäre im ${ℝ}^n$ bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Verallgemeinerungen

Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

${\mathrm{\Delta }}^{m}f=0$

Für $m=2$ (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

Literatur

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).