Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y^{\prime }(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x),\alpha \notin \{0,1\}.$

Durch die Transformation

$z(x):=(y(x){)}^{1-\alpha }$

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

$z^{\prime }(x)=(1-\alpha )(f(x)z(x)+g(x))$

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

Sei $x_0\in (a,b)$ und

$\{\begin{array}{cc}z:(a,b)\to (0,\mathrm{\infty }),& \text{falls}\alpha \in ℝ\setminus \{1,2\},\\ z:(a,b)\to ℝ\setminus \{0\},& \text{falls}\alpha =2,\end{array}$

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

$z^{\prime }(x)=(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x).$

Dann ist

$y(x):=[z(x){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}$

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x),y(x_0)=y_0:=[z(x_0){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}.$

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes $\alpha >0$ trivialerweise $y\equiv 0$ als Lösung für $y_0=0$.

Beweis

Es gilt

$\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }(x)& =& \frac{1}{1-\alpha }z(x{)}^{\frac{1}{1-\alpha }-1}{z}^{\prime }(x)\\ & =& \frac{1}{1-\alpha }z(x{)}^{\frac{1}{1-\alpha }-1}((1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x))\\ & =& f(x)z(x{)}^{\frac{1}{1-\alpha }}+g(x)z(x{)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}\\ & =& f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x),\end{array}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

$◻$

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)=ay(x)-b{y}^2(x),y(0)=y_0>0,a,b>0$

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit $\alpha =2$. Löst man daher

$z^{\prime }(x)=-az(x)+b,z(0)=\frac{1}{y_0},$

ergibt sich

$z(x)=\frac{b}{a}+(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a})e^{-ax}.$

Da $z(x)>0$ für alle $x>x^{-}$ mit

$x^{-}:=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{falls}a\ge b{y}_0,\\ \frac{1}{a}\ln (1-\frac{a}{b{y}_0}),& \text{falls}a<b{y}_0,\end{array}$

ist

$y(x):=\frac{1}{z(x)}=\frac{1}{\frac{b}{a}+(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a})e^{-ax}}$

die Lösung obiger Gleichung auf $(x^{-},\mathrm{\infty })$.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7