Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie beispielsweise verwendet

• in der Warteschlangentheorie, um Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben;
• in der Versicherungsmathematik, um kleinere bis mittlere Schäden zu modellieren.

Definition

Die Gammaverteilung $𝒢(p,b)$ ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{b^p}{\mathrm{\Gamma }(p)}{x}^{p-1}{e}^{-bx}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$ definiert. Sie besitzt die reellen Parameter $b$ und $p$. Der Parameter $b$ ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter $p$ ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $b>0$ und $p>0$ gefordert. Der Vorfaktor $b^p/\mathrm{\Gamma }(p)$ dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $\mathrm{\Gamma }(p)$ steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion $F(x)=\{\begin{array}{cc}P(p,bx)& x\ge 0\\ 0& x<0,\end{array}$ wobei $P(p,bx)$ die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit $p$ und $b$ findet man auch häufig

$(\alpha =p,\beta =b)$ oder $(k=p,\theta =\frac{1}{b}).$

$\beta =b$ ist die Umkehrung eines Skalenparameters und $\theta =1/b$ ist der Skalenparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise $\alpha /\beta$ beziehungsweise $k\theta$). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert $p/b$ und Varianz $p/b^2$ zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte $f$ besitzt für $p>1$ an der Stelle $x_M=\frac{p-1}{b}$ ihr Maximum und für $p>2$ an den Stellen

$x_W=x_M\pm \frac{(p-1{)}^{\frac{1}{2}}}{b}$

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

$\mathrm{E}(X)=\frac{p}{b}.$

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

$\mathrm{Var}(X)=\frac{p}{b^2}.$

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

$\mathrm{v}(X)=\frac{2}{\sqrt{p}}.$

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit den Parametern $b$ und $p_x$ bzw. $p_y$, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern $b$ und $p_x+p_y$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\varphi }_X(s)={\left(\frac{b}{b-is}\right)}^p.$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

$m_X(s)={\left(\frac{b}{b-s}\right)}^p.$

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

$H(X)=\ln (\mathrm{\Gamma }(p))-\ln \left(b\right)+(1-p)\psi (p)+p$

wobei $\psi (p)$ die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind $X_1\sim 𝒢(p_1,b)$ und $X_2\sim 𝒢(p_2,b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe $X_1+X_2$ gammaverteilt, und zwar

$X_1+X_2\sim 𝒢(p_1+p_2,b).$

Allgemein gilt: Sind $X_i\sim 𝒢(p_i,b)i=1,\dots ,n$ stochastisch unabhängig dann ist

$X_1+\cdots +X_n\sim 𝒢(p_1+\cdots +p_n,b).$

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn $X\sim 𝒢(p_1,b)$ und $Y\sim 𝒢(p_2,b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern $p_1,b$ bzw. $p_2,b$, dann ist die Größe $\frac{X}{X+Y}$ betaverteilt mit Parametern $p_1$ und $p_2$, kurz

$\mathrm{Beta}(p_1,p_2)\sim \frac{𝒢(p_1,b)}{𝒢(p_1,b)+𝒢(p_2,b)}.$

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

• Die Chi-Quadrat-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p=k/2$ und $b=1/2$.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter $\lambda$ und $n$ Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern $p=n$ und $b=\lambda$ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des $p$-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter $p=1$, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda =b$.
• Die Faltung von $n$ Exponentialverteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gamma-Verteilung mit $p=n,b=\lambda$.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist $X$ Gamma-verteilt, dann ist $Y=e^X$ Log-Gamma-verteilt.

Literatur

• Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
• P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

Weblinks

• siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
• Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
• Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung